案例九 马尔科夫预测
一、 市场占有率的预测重点
例1：在北京地区销售鲜牛奶主要由三个厂家提供。分别用1，2，3表示。去年12月份对2000名消费者进行调查。购买厂家1，2和3产品的消费者分别为800，600和600。同时得到转移频率矩阵为：
?320240240???N??36018060?
?36060180???其中第一行表示，在12月份购买厂家1产品的800个消费者中，有320名消费
者继续购买厂家1的 产品。转向购买厂家2和3产品的消费者都是240人。N的第二行与第三行的含义同第一行。
（1） 试对三个厂家1~7月份的市场占有率进行预测。 （2） 试求均衡状态时，各厂家的市场占有率。
解：（1）用800，600和600分别除以2000，得到去年12月份各厂家的市场占有率，即初始分布p0?(0.4,0.3,0.3)。
用800，600和600分别去除矩阵N的第一行、第二行和第三行的各元素，得状态转移矩阵：
?0.40.30.3???P??0.60.30.1?
?0.60.10.3???于是，第k月的绝对分布，或第 月的市场占有率为：
Pk?p0?P(k)?p0Pk(1,2,3,?,7)
?0.40.30.3???k?1时，p1??0.40.30.3??0.60.30.1???0.520.240.24?
?0.60.10.3???k?2时，p2??0.40.30.3?P2??0.520.240.24?P??0.4960.2520.252?
k?3时,
p3??0.40.30.3?P3??0.4960.2520.252?P??0.50080.24960.2496? 类似的可以计算出p4，p5，p6和p7。
现将计算结果绘制成市场占有率变动表，如表所示：
月份（i） 1 2 3 4 5 6 7 三个厂家的市场占有率 iip2p3p1i 0.52 0.24 0.24 0.496 0.252 0.252 0.5008 0.2496 0.2496 0.49984 0.25008 0.25008 0.500032 0.249984 0.249984 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 从表中可以看到，厂家1的市场占有率随时间的推移逐渐稳定在50%，而厂家2和厂家3的市场占有率随都逐渐稳定在25%.
由于转移概率矩阵P是正规矩阵，因此P有唯一的均衡点?。由本例可知，
p0?Pk????0.50.250.25?，即随着???0.50.250.25?。由定理可知，limk??时间的推移，三个厂家的市场占有率逐渐趋于稳定。当市场达到均衡状态时，各厂家的市场占有率分别为50%、25%和25%。
由表可以看出，第三个月时，市场已经基本达到均衡状态，此时，各厂家的市场占有率与均衡状态时的市场占有率的误差已不足千分之一。
例2：飞跃、金星、凯歌、英雄电视机厂生产的电视机同时在某市销售，由于产品质量、价格、经营管理水平、服务态度、质量等因素影响，每月订户都有变化。根据8、9月份的变化，预测本年后三个月各厂家的用户占有率。
（1）调查目前的用户占有及变动情况 8月1日的订户到9月1日发生变化的情况
表7.5 8、9月各厂订户 厂 家 8月份订户 9月1日失去订户 9月1日保留订户 9月1日订户保留率
飞跃（Ⅰ） 金星（Ⅱ） 凯歌（Ⅲ） 英雄（Ⅳ） 545 65 480 88.1% 495 55 440 88.9% 417 52 365 87.5% 382 54 328 85.9% 7.6 8、9月各厂订户的变动 厂 家 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 9月用户占有数 Ⅰ 480 24 18 15 537 Ⅱ 30 440 20 25 515 Ⅲ 20 16 365 14 415 Ⅳ 15 15 14 328 372 8月用户占有数 545 495 417 382 1839 9月份四厂总用户为1839，各厂家的用户占有率分别为：0.292,0.280,0.226,0.202①初始状态向量
S(0)=（0.292 0.280 0.226 0.202） （2）计算用户转移概率
飞跃厂、金星厂同理可以计算得到凯歌厂。将以上计算结果写成矩阵就是8~9月的一步转移概率矩阵P
（3）预测
若本年后三个月各月之间用户阵移概率不变，则可以采用（7.5）式的数学模型预测。
10月各厂的用户占有率为S(1)=S(0)·P
0.881 0.055 0.037 0.027 =（0.292 0.280 0.226 0.202）0.049 0.889 0.032 0.030 0.043 0.048 0.875 0.034 0.039 0.065 0.037 0.859 =(0.289 0.289 0.225 0.197) 11月各厂用户占有率为 S(2)=S(1)·P
0.881 0.055 0.037 0.027 = (0.289 0.289 0.225 0.197) 0.049 0.889 0.032 0.030 0.043 0.048 0.875 0.034 0.039 0.065 0.037 0.859 =(0.286 0.297 0.224 0.193)
12月各厂用户占有率为 S(3)=S(2)·P= (0.286 0.297 0.224 0.193)·P =(0.284 0.303 0.223 0.190) 预测结果表明，如果各厂家占有用户的变化依上述规律进行，到该年底，原
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