2016考研数学（一）真题
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. （1） 若反常积分
???01dx收敛，则 abx(1?x)（A）a?1且b?1. （B）a?1且b?1. （C）a?1且a?b?1. （D）a?1且a?b?1.
（2）已知函数f(x)???2(x?1),x?1,则f(x)的一个原函数是
lnx,x?1,??(x?1)2,x?1.?(x?1)2,x?1.（A）F(x)??（B）F(x)??
x(lnx?1),x?1.x(lnx?1)?1,x?1.???(x?1)2,?(x?1)2,x?1.x?1.（C）F(x)??（D）F(x)??
?x(lnx?1)?1,x?1.?x(lnx?1)?1,x?1.（3）若y?(1?x2)2?1?x2，y?(1?x2)2?1?x2是微分方程y?p(x)y?q(x)的两个解，则q(x)? （A）3x(1?x2). （B）?3x(1?x2). （C）
'xx?. （D）. 221?x1?x?x,?（4）已知函数f(x)??1,??nx?0,11?x?,n?1,2,n?1n,则
（A）x?0是f(x)的第一类间断点. （B）x?0是f(x)的第二类间断点. （C）f(x)在x?0处连续但不可导. （D）f(x)在x?0处可导. （5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是
（A）A与B相似（B）A与B相似
（C）A?A与B?B相似（D）A?A与B?B相似
222（6）设二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3，则f(x1,x2,x3)?2在空间直角坐标下表
TT?1?1TT?1?1示的二次曲面为
（A）单叶双曲面（B）双叶双曲面 （C）椭球面（D）柱面
（7）设随机变量X~N(?,?)(??0)，记p?P{X????}，则
1
22
（A）p随着?的增加而增加（B）p随着?的增加而增加 （C）p随着?的增加而减少（D）p随着?的增加而减少
（8）随机试验E有三种两两不相容的结果A1，A2，A3，且三种结果发生的概率均为
1。将试验E独立重3复做2次，X表示2次试验中结果A1发生的次数，Y表示2次试验中结果A2发生的次数，则X与Y的相关系数为
（A）（B）（C）（D）
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.
?（9）limx?0x0tln(1?tsint)dt1?cosx2?_______.
（10）向量场A(x,y,z)?(x?y?z)i?xyj?zk的旋度rotA?_______.
（11）设函数f(u,v)可微，z?z(x,y)由方程(x?1)z?y2?x2f(x?z,y)确定，则
dz|(0,1)?______.
（12）设函数f(x)?arctanx?x，且f''(0)?1，则a?______.
1?ax2??100??1（13）行列式
00?4（14）设x1,x2,3200?______. ?1??1,xn为来自总体N(?,?2)的简单随机样本，样本均值x?9.5，参数?置信度为0.95的
双侧置信区间的置信上限为10.8，则?的置信度为0.95的双侧置信区间为______.
三、解答题：15~23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分10分） 已知平面区域D=?(r,?)|2?r?2(1?cos?),?分）
'''设函数y(x)满足方程y?2y?ky?0，其中0?k?1.
?2?????（本题满分10?，计算二重积分??xdxdy.（16）
2?D（I）证明：反常积分
???0y(x)dx收敛；
'（II）若y(0)?1，y(0)?1，求
???0y(x)dx的值.
2
（17）（本题满分10分）
设函数f(x,y)满足计算曲线积分I(t)??f(x,y)?(2x?1)e2x?y，且f(0,y)?y1?，Lt是从点(0,0)到点(1,t)的光滑曲线。?x?f(x,y)?f(x,y)dx?dy，并求I(t)的最小值。 ?Lt?x?y
（18）（本题满分10分）
设有界区域?由平面2x?y?2z?2与三个坐标平面围成，?为?整个表面的外侧，计算曲面积分
I???(x2?1)dydz?2ydzdx?3zdxdy。
?（17）（本题满分10分）
设函数f(x,y)满足计算曲线积分I(t)??f(x,y)?(2x?1)e2x?y，且f(0,y)?y1?，Lt是从点(0,0)到点(1,t)的光滑曲线。?x?f(x,y)?f(x,y)dx?dy，并求I(t)的最小值。 ?Lt?x?y
（18）（本题满分10分）
设有界区域?由平面2x?y?2z?2与三个坐标平面围成，?为?整个表面的外侧，计算曲面积分
I???(x2?1)dydz?2ydzdx?3zdxdy。
?（21）（本题满分11分）
?0?11???已知矩阵A??2?30?
?000???（Ⅰ）求A
（Ⅱ）设3阶矩阵B?(?1,?2,?3)满足B?BA。记B100?(?1,?2,?3)，将?1,?2,?3分别表示为?1,?2,?3的线性组合。
（22）（本题满分11分）
设二维随机变量(X,Y)在区域D?(x,y)|0?x?1,x?y?（I）写出(X,Y)的概率密度；
（II）问U与X是否相互独立？并说明理由； （III）求Z?U?X的分布函数F(z). （23）（本题满分11分）
299?2?1,X?Y.x上服从均匀分布，令U??
?0,X?Y.?3
2016考研数学(一)真题word版
