中考拉分题特训(3)
1．(宁波二模)如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，半径为1的⊙O与AC，BC相切，当⊙O沿边CB平移至与AB相切时，则⊙O平移的距离为(B)
A．3 B．4 C．5 D．6
【难度】0.4 【特训考点】切线的性质；相似三角形的判定和性质；勾股定理；正方形的判定和性质；矩形的判定和性质．
【解析】∵Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，设⊙O与AC相切于D，与BC相切于H，平移后的⊙O′与AB相切于F，与BC相切于E，连接OH，O′D，则点O在O′D上，连接O′F，EO′并延长交AB于G，则四边形CDOH是正方形，四边形OHEO′O′F是矩形，∴OD＝OH＝O′E＝O′F＝CD＝CH＝1，OO′＝HE，可证∠O′FG∽∠BCA，∴
BCO′GO′G159BE＝ ，∴ ＝ ，∴O′G＝ ，∴EG＝ ，∵GE∥AC，∴△BGE∽△BAC，∴
AB81044BC9EGBE4
＝ ，∴ ＝ ，∴BE＝3，∴OO′＝HE＝BC－CH－BE＝8－1－3＝4，∴⊙O平移的AC86距离为4.
2．(温州一模)由四个正方形相框拼成的照片墙如图所示，已知正方形ABCD，正方形DEFG，正方形BIJK的面积分别为4平方分米，4平方分米，16平方分米，则正方形AGHI的面积为__6__平方分米．
【难度】0.4 【特训考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的性质与判定；勾股定理．
【解析】作DM⊥AG于点M，作IN⊥BA交BA的延长线于点N，∵正方形ABCD，正方形DEFG，正方形BIJK的面积分别为4平方分米，4平方分米，16平方分米，∴AD＝2，DG＝2，BI＝4，∠IAG＝∠BAD＝90°，
∴∠IAB＋∠MAD＝180°，又∵∠IAB＋∠IAN＝180°，∴∠IAN＝∠MAD，设AG＝2x，xAN
可证△MAD∽△IAN，∴ ＝ ，∴AN＝x2，∴NI2＝AI2－AN2＝(2x)2－(x2)2＝4x2－x4，∵
22x3
BI＝4，BN＝BA＋AN＝2＋x2，∠BNI＝90°，∴42＝(2＋x2)2＋4x2－x4，解得，x2＝ ，∴正
23
方形AGHI的面积为：(2x)2＝4x2＝4× ＝6.
2
8
3.(2020·衢州)如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分别是直线y＝－ x
3＋4与坐标轴的交点，点B的坐标为(－2，0)，点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF.设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究：
①线段EF长度是否有最小值． ②△BEF能否成为直角三角形．
小明尝试用“观察－猜想－验证－应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题． (1)小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点(如图2).请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别．
(2)小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证(1)中的猜想，请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值．
(3)小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF为直角三角形时m的值．
【难度】0.2 【特训考点】描点法画函数图象；待定系数法；全等三角形的判定与性质；坐标与图形的性质；二次函数的性质；勾股定理；中心对称的性质；直角三角形的性质；方程思想；分类讨论思想．
解：(1)用描点法画出图形如图1，由图象特征猜想函数类别为二次函数．
(2)如图2，过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，则∠FGK＝∠DHK＝90°，记FD交y轴于点K，∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，∴KF＝KD，∵∠FKG＝∠DKH，∴Rt△FGK≌Rt△DHK(AAS)，∴FG＝DH，∵直线AC的解析式为y＝－8
x＋4，∴x＝0时，y＝4，∴A(0，4)，又∵B(－2，0)，设直线AB的解析式为y＝kx＋b，3
?－2k＋b＝0，?k＝2，??∴? 解得? ∴直线AB的解析式为y＝2x＋4，过点F作FR⊥x轴于点R，??b＝4，b＝4，??
∵D点的橫坐标为m，∴F(－m，－2m＋4)，∴ER＝2m，FR＝－2m＋4，∵EF2＝FR2＋ER2，8x33
∴l＝EF2＝8m2－16m＋16＝8(m－1)2＋8，令－ ＋4＝0，得x＝ ，∴0≤m≤ .∴当m
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2021年中考数学复习拉分题特训(3)
