证明如下：①当n?1时，a1?1?11?，成立； 2222?122n?1n?1②假设当n?k时，猜想也成立，即an?2?1?122n?1,
则当n?k?1时，ak?1?2ak?ak?ak?2?ak?
1??1???1?2k?1??1?2k?1?2??21??1?. ?1??1??k?1??2k?2??22即当n?k?1时，猜想也成立。 由①②得，猜想成立，即an?22?122n?1n?1?1?122n?1.(n?N*)
2(2) 当m?1时，即an?1?an?an
当n?2时，由a2?a1?a1?211?知不等式成立。 42?211?. k?242假设当n?k(k?2)时，命题也成立，即0?ak?21?11?1??1由ak?1?ak?a???ak????????? 2?4??k?22?42k?k?1k?1k?11??? 22(k?2)k?4k?3(k?1)(k?3)(k?1)?2即当n?k?1时，命题也成立。
由①②得，原命题成立，即当n?2时，an?【点睛】
该题考查的是数列的有关问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的特定项，根据已知的数列的前几项猜想数列的通项公式，应用数学归纳法证明问题，属于中档题目.
1. n?2?2a?P(1,2)19．已知点，经矩阵M???对应的变换作用下，变为点Q(4,2).
b1??（1）求a,b的值；
（2）直线l在M对应的变换作用下变为直线m:2x?4y?1?0，求直线l的方程. 【答案】(1) a?1；b?0 (2) 4x?6y?1?0
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【解析】 【分析】
（1）根据题意，结合题中的条件，利用矩阵乘法公式，列出满足条件的等量关系式，求得结果；
（2）设直线l上任意一点P(x0,y0)经矩阵M变换为P'(x',y')，利用矩阵乘法得出坐标之间的关系，利用P'(x',y')在直线2x?4y?1?0上，代入求得4x0?6y0?1?0，进而得出直线l的方程. 【详解】
?2a??1??4???? （1）?????b1??2??2??a?1?2?2a?4解得 ??b?0b?2?2??∴a?1；b?0
?21?M?（2）由（1）知?01?
???x'??21??x??2x?y?TM：??????y???y?
y'01????????设直线l上任意一点P(x0,y0)经矩阵M变换为P'(x',y')
?x??2x0?y0则?
?y?y0?∵2x'?4y'?1?0
∴2?2x0?y0??4y0?1?0即4x0?6y0?1?0 ∴直线l的方程为4x?6y?1?0. 【点睛】
该题考查的是有关点和直线经矩阵变换的问题，在解题的过程中，注意变换的规则，掌握矩阵的乘法，属于简单题目.
20．在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为??x?cos? (其中?为参数),2?y?1?sin?以直角坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程
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为???4,试求直线l与曲线C的交点的直角坐标.
【答案】(1,1) 【解析】 【分析】
将曲线C的参数方程化为普通方程，将直线l的极坐标方程化为平面直角坐标方程，联立即可求得直线l与曲线C的交点的直角坐标. 【详解】
将直线l的极坐标方程化直角坐标系方程为y?x
将曲线C的参数方程化为普通方程可得：y?2?x(?1?x?1)，
2由??y?x22得x?x?2?0，解得x?1或x??2，又?1?x?1，所以x?1，
?y?2?x所以直线l与曲线C的交点的直角坐标为(1,1). 【点睛】
该题考查的是有关直线与曲线交点的平面直角坐标的求解问题，涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化，极坐标方程向平面直角坐标方程的转化，直线与曲线交点坐标的求解，属于简单题目.
21．若正数a,b,c满足a?b?c?1，求【答案】1 【解析】
试题分析：由柯西不等式得
111??的最小值.
3a?23b?23c?211??1?????(3a?2)?(3b?2)?(3c?2)??3a?23b?23c?2??331?33(3a?2)(3b?2)(3c?2)?9，所以
(3a?2)(3b?2)(3c?2)111???1
3a?23b?23c?2试题解析：因为a,b,c均为正数，且a?b?c?1， 所以(3a?2)?(3b?2)?(3c?2)?9． 于是由均值不等式可知?11??1????(3a?2)?(3b?2)?(3c?2)?
?3a?23b?23c?2?18
?331?33(3a?2)(3b?2)(3c?2)?9，
(3a?2)(3b?2)(3c?2)当且仅当a?b?c?1时，上式等号成立． 3从而
111???1．
3a?23b?23c?2故
1111??的最小值为1．此时a?b?c?．
3a?23b?23c?23考点：柯西不等式
22．某校高二年级成立了垃圾分类宣传志愿者小组,有7名男同学,3名女同学,在这10名学生中,1班和2班各有两名同学,3班至8班各有一名同学,现从这10名同学中随机选取3名同学,利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动(每位同学被选到的可能性相同)
(1)求选出的3名同学是来自不同班级的概率;
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列及数学期望 【答案】(1) 【解析】 【分析】
（1）设“选出的3名同学是来自不同班级”为事件A，由题目信息可知事件A对应的
11111233基本事件有C2C2C6?C2C2C6?C6个，总的基本事件有C10个，利用概率公式即可求
1 (2)见解析 2得结果；
3?kC3kC7（2）根据题意，可知随机变量X的所有可能值为0,1,2,3，结合P(X?k)?，3C10分别求得P(X?k)(k?0,1,2,3)的值，进而列出分布列，利用公式求得其期望. 【详解】
（1）设“选出的3名同学是来自不同班级”为事件A，
1111123C2C2C6?C2C2C6?C613?则P(A)? 3C1015答：选出的3名同学是来自不同班级的概率为（2）随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.
1. 2 19
3C30C77P(X?0)?3?
C102412C3C21P(X?1)?37??
C10401C32C77P(X?2)?3?
C104030C3C1P(X?3)?37?
C10120∴X的分布列为
X P
0 1 2 3 7 2421 407 401 120E(X)?0?721719?1??2??3?? 244040120109. 10答：选出的3名同学中女同学人数的数学期望为【点睛】
该题考查的是有关离散型随机变量的问题，涉及到的知识点有古典概型概率公式，离散型随机变量分布列及其期望，属于简单题目.
n223．已知函数fn(x)?(1??x)?a0?a1x?a2x??anxn，其中??R,n?N.
（1）若???2，n?2024，求a1?a3?a5???a2024的值； （2）若???1，化简：
?kC2k?1nknxkfn?k(x),n?N*.
【答案】(1) a1?a3?a5?na20241?32024 (2) ??22kk2?kCxf(x)?n(n?1)x?nx,n?N ?nn?kk?1【解析】
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2024-2024学年江苏省南京市六校联合体高二下学期期末联考数学试题 解析版
