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2018-2019学年江苏省南京市六校联合体高二下学期期末联考数学试题 解析版

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证明如下:①当n?1时,a1?1?11?,成立; 2222?122n?1n?1②假设当n?k时,猜想也成立,即an?2?1?122n?1,

则当n?k?1时,ak?1?2ak?ak?ak?2?ak?

1??1???1?2k?1??1?2k?1?2??21??1?. ?1??1??k?1??2k?2??22即当n?k?1时,猜想也成立。 由①②得,猜想成立,即an?22?122n?1n?1?1?122n?1.(n?N*)

2(2) 当m?1时,即an?1?an?an

当n?2时,由a2?a1?a1?211?知不等式成立。 42?211?. k?242假设当n?k(k?2)时,命题也成立,即0?ak?21?11?1??1由ak?1?ak?a???ak????????? 2?4??k?22?42k?k?1k?1k?11??? 22(k?2)k?4k?3(k?1)(k?3)(k?1)?2即当n?k?1时,命题也成立。

由①②得,原命题成立,即当n?2时,an?【点睛】

该题考查的是数列的有关问题,涉及到的知识点有根据递推公式求数列的特定项,根据已知的数列的前几项猜想数列的通项公式,应用数学归纳法证明问题,属于中档题目.

1. n?2?2a?P(1,2)19.已知点,经矩阵M???对应的变换作用下,变为点Q(4,2).

b1??(1)求a,b的值;

(2)直线l在M对应的变换作用下变为直线m:2x?4y?1?0,求直线l的方程. 【答案】(1) a?1;b?0 (2) 4x?6y?1?0

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【解析】 【分析】

(1)根据题意,结合题中的条件,利用矩阵乘法公式,列出满足条件的等量关系式,求得结果;

(2)设直线l上任意一点P(x0,y0)经矩阵M变换为P'(x',y'),利用矩阵乘法得出坐标之间的关系,利用P'(x',y')在直线2x?4y?1?0上,代入求得4x0?6y0?1?0,进而得出直线l的方程. 【详解】

?2a??1??4???? (1)?????b1??2??2??a?1?2?2a?4解得 ??b?0b?2?2??∴a?1;b?0

?21?M?(2)由(1)知?01?

???x'??21??x??2x?y?TM:??????y???y?

y'01????????设直线l上任意一点P(x0,y0)经矩阵M变换为P'(x',y')

?x??2x0?y0则?

?y?y0?∵2x'?4y'?1?0

∴2?2x0?y0??4y0?1?0即4x0?6y0?1?0 ∴直线l的方程为4x?6y?1?0. 【点睛】

该题考查的是有关点和直线经矩阵变换的问题,在解题的过程中,注意变换的规则,掌握矩阵的乘法,属于简单题目.

20.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为??x?cos? (其中?为参数),2?y?1?sin?以直角坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程

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为???4,试求直线l与曲线C的交点的直角坐标.

【答案】(1,1) 【解析】 【分析】

将曲线C的参数方程化为普通方程,将直线l的极坐标方程化为平面直角坐标方程,联立即可求得直线l与曲线C的交点的直角坐标. 【详解】

将直线l的极坐标方程化直角坐标系方程为y?x

将曲线C的参数方程化为普通方程可得:y?2?x(?1?x?1),

2由??y?x22得x?x?2?0,解得x?1或x??2,又?1?x?1,所以x?1,

?y?2?x所以直线l与曲线C的交点的直角坐标为(1,1). 【点睛】

该题考查的是有关直线与曲线交点的平面直角坐标的求解问题,涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化,极坐标方程向平面直角坐标方程的转化,直线与曲线交点坐标的求解,属于简单题目.

21.若正数a,b,c满足a?b?c?1,求【答案】1 【解析】

试题分析:由柯西不等式得

111??的最小值.

3a?23b?23c?211??1?????(3a?2)?(3b?2)?(3c?2)??3a?23b?23c?2??331?33(3a?2)(3b?2)(3c?2)?9,所以

(3a?2)(3b?2)(3c?2)111???1

3a?23b?23c?2试题解析:因为a,b,c均为正数,且a?b?c?1, 所以(3a?2)?(3b?2)?(3c?2)?9. 于是由均值不等式可知?11??1????(3a?2)?(3b?2)?(3c?2)?

?3a?23b?23c?2?18

?331?33(3a?2)(3b?2)(3c?2)?9,

(3a?2)(3b?2)(3c?2)当且仅当a?b?c?1时,上式等号成立. 3从而

111???1.

3a?23b?23c?2故

1111??的最小值为1.此时a?b?c?.

3a?23b?23c?23考点:柯西不等式

22.某校高二年级成立了垃圾分类宣传志愿者小组,有7名男同学,3名女同学,在这10名学生中,1班和2班各有两名同学,3班至8班各有一名同学,现从这10名同学中随机选取3名同学,利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动(每位同学被选到的可能性相同)

(1)求选出的3名同学是来自不同班级的概率;

(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列及数学期望 【答案】(1) 【解析】 【分析】

(1)设“选出的3名同学是来自不同班级”为事件A,由题目信息可知事件A对应的

11111233基本事件有C2C2C6?C2C2C6?C6个,总的基本事件有C10个,利用概率公式即可求

1 (2)见解析 2得结果;

3?kC3kC7(2)根据题意,可知随机变量X的所有可能值为0,1,2,3,结合P(X?k)?,3C10分别求得P(X?k)(k?0,1,2,3)的值,进而列出分布列,利用公式求得其期望. 【详解】

(1)设“选出的3名同学是来自不同班级”为事件A,

1111123C2C2C6?C2C2C6?C613?则P(A)? 3C1015答:选出的3名同学是来自不同班级的概率为(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.

1. 2 19

3C30C77P(X?0)?3?

C102412C3C21P(X?1)?37??

C10401C32C77P(X?2)?3?

C104030C3C1P(X?3)?37?

C10120∴X的分布列为

X P

0 1 2 3 7 2421 407 401 120E(X)?0?721719?1??2??3?? 244040120109. 10答:选出的3名同学中女同学人数的数学期望为【点睛】

该题考查的是有关离散型随机变量的问题,涉及到的知识点有古典概型概率公式,离散型随机变量分布列及其期望,属于简单题目.

n223.已知函数fn(x)?(1??x)?a0?a1x?a2x??anxn,其中??R,n?N.

(1)若???2,n?2019,求a1?a3?a5???a2019的值; (2)若???1,化简:

?kC2k?1nknxkfn?k(x),n?N*.

【答案】(1) a1?a3?a5?na20191?32019 (2) ??22kk2?kCxf(x)?n(n?1)x?nx,n?N ?nn?kk?1【解析】

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2018-2019学年江苏省南京市六校联合体高二下学期期末联考数学试题 解析版

证明如下:①当n?1时,a1?1?11?,成立;2222?122n?1n?1②假设当n?k时,猜想也成立,即an?2?1?122n?1,则当n?k?1时,ak?1?2ak?ak?ak?2?ak?1??1???1?2k?1??1?2k?1?2??21??1?.?1??1??k?1??2k?2??22即当n?k?1时,猜想也成立。由①②得
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