第19章习题详解
19-1波长589.3nm的单色平行光垂直照射一单缝，单缝后透镜焦距为100cm，测得第一级暗纹到中央明纹中心距离为1.0mm。求单缝的宽度？ 解:根据单缝衍射的暗纹计算式得,第一级暗纹满足 因为
asin???
?=a,所以有??tg??sin?可得
第一级暗纹满足
x1??f??f?af589.3?10?6?1000??0.589mm 故单缝的宽度为 a?x11
19-2单缝宽0.10mm，透镜焦距为50cm，用500nm的绿光垂直照射单缝。（1）求屏上中央明纹的宽度和半角宽度？（2）将此装置浸入水中，则中央明纹半角宽度又是多少？ 解:（1）单缝衍射的中央明纹的宽度就是?1级暗纹的中心间距
2?500?10?6mm故有中央明纹的宽度 ?x?2ftg??2f??500?5mm
a0.10mm?500?10?6半角宽度为 ?1???5?10?3rad
a0.10? （2）水中的波长为?n??n
???10.005?3??n?????3.75?10rad
则水中的半角宽度为 4anan319-3一单色平行光垂直照射于一单缝，若其第三条明纹位置正好和波长为600nm的单色光垂直入射时的第二级明纹的位置一样，求前一种单色光的波长。 解 ：根据单缝衍射的明纹计算式asin??(2k?1)?2 有
第三级明纹满足 asin?3?(2?3?1)?12
第二级明纹满足 asin?2?(2?2?1)
两明纹重合，则?2?22
??3即
75?1??2 22 得
?1?55?600?2??428.6nm 7719-4 一双缝间距d=0.10mm，每个缝宽为a=0.02mm。用波长λ=480nm平行单色光垂直入
射双缝，在缝后放置焦距为f=50cm透镜。试求（1）透镜焦平面屏上干涉明条纹间距？（2）单缝衍射中央亮纹宽度？（3）单缝衍射中央明纹范围内可以看到干涉主极大的数目？
解：解 （1）干涉明条纹间隔
?x?f(tan?k?1?tan?k)?f(sin?k?1?sin?k)k?1kf??f(???)? ddd?2.4?10?3m （2）单缝衍射中央明纹宽度为
?x0? （3）单缝衍射第一级暗纹为
2fλ?2.4?10?2m aasinθ?λ
双缝干涉的第k级明纹为
dsinθ?kλ
因此
k?d/a?5
又k=5满足缺级条件，实际上观察不到。因此在单缝衍射中央明纹范围内可以看到干涉主极大的级次为：0,?1,?2,?3,?4，一共9条明纹。
19-5一平行单色光垂直照射到a=0.6mm的单缝上，缝后会聚透镜的焦距f=40mm，在屏上观察到离中央明纹中心1.4 mm处的P点为一明条纹。求：（1）入射光的波长；（2）P点条纹的级数；（3）从P点看狭缝处的波阵面可分为几个半波带？
解：此题用半波带法分析，P点处为明条纹，则狭缝处的狭缝处的波阵面应分成奇数个半拨带，即 asin??(2k?1)在可见光范围内，推算能满足上式的k值和?值。 设屏幕上P点距中央明纹中心为x
则 x?ftg??fsin? 代入上式得 a?2
x?1?(2k?1)?(k?)? f22ax10.6?10?3?1.4?10?31??? 所以 k??2f?2240?10?? 而可见光的范围为 ??4000?10?40~7600?10?10m
求得对应k值范围是 2.3~4.75 因为k只能取整数，所以k=3或k=4.
当 k=3时，得?3?6000?(红光)，对应从P点看狭缝处的波阵面可分为2k+1=7个
半波带，
当k=4,得?4?4667 ?（蓝光），对应从P点看狭缝处的波阵面可分为2k+1=9个半
波带
19-6用一橙黄色(波长范围6000?～6500?)平行光垂直照射到宽度为a=0.6mm的单缝上，在缝后放置一个焦距f=40cm的凸透镜，则在屏幕上形成衍射条纹，若屏上离中央明条纹中心为1.40mm的P处为一明条纹，试求：
(1)入射光的波长 (2)中央明条纹的角宽度，线宽度 (3)第一级明纹所对应的衍射角
解: (1)由明纹条件 asin??(2k?1)2
得 ??arcsin 第k级明纹在屏上的位置
?(2k?1)?(2k?1)?? (k=1,2,3,···) 2a2axk?ftan??f??(2k?1)f? 2a而
2axk??(2k?1)f ,
设λ1=6000?, λ2=6500? 由λ1 ≤ λ ≤ λ2 即
?1?2axk??2 (2k?1)faxk1axk1??k?? ,
得 f?f?1222代入数据 a=0.6mm , xk=1.40mm , f =400mm和λ1,λ2
得 2.73≤ k ≤ 3 ∴ k = 3
而 ?? ?6000A
o2axk2?0.6?1.40??6.00?10?4mm(2k?1)f(2?3?1)?400
? ??(2) 第一级暗纹的衍射角即中央明纹的半角宽度 1a ,
2????2 ???0.002 rad 1 而角宽度为
a线宽度为
?x?f ???0.8mm
?(3) 由明纹条件 asin??(2k?1)2和k?1 得 sin??3? 2a? ??3??1.5?10?3(rad) 2a－
19-7一衍射光栅，每厘米有200条透光缝，每条透光缝宽为2×103cm，在光栅后放一焦距为1m的凸透镜，现以波长为600nm的平行单色光垂直照射光栅。求（1）透光缝的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？ 600?10?6mm解：（1）单缝衍射中央明条纹宽度为?x?2f?2??1000?60mm
a2?10?2mm （2）根据光栅方程 dsin??k? （干涉主极大） 及 asin??k?? （单缝衍射极小）
? 两式相比有 当k??1时，k?dk? ak?d?2.5 a 所以，单缝衍射主极大内有0、?1,?2共5级主极大。
19-8平行单色光波长为500nm，垂直入射到每毫米200条刻痕的透射光栅上，光栅后面放置一个焦距为60cm的透镜。求（1）中央明纹与第一级明纹的间隔？（2）当入射光与光栅法线成30o斜入射时，中央明纹中心移动多少距离？ 解;(1)根据明纹公式 dsin??k?
500?10?6?600?60mm 中央明纹与第一级明纹的间隔为 x1?f?1d200? (2)斜入射时满足光栅方程 d(sin??sin?)?k?
??对于中央明纹有k=0, 故d(sin30?sin?0)?0 得?0?30
对应接收屏上的位移为
?x?ftg30?tg30?600?35cm
??19-9波长范围为400~700nm 的白光垂直照射在光栅常数为2?10mm的光栅上,实验测得位于透镜后焦面的屏上的光栅衍射第一级光谱的宽度约为56.5mm,问透镜的焦距约为多少?
解:由光栅方程式可得波长范围为400~700nm的第一级谱线的衍射角分别为
?34?10?4??arcsin?11.54 ??arcsin ?3a?b2?10?7.6?10?4?arcsin?22.33? ???arcsin?3a?b2?10??第一级光谱衍射角的范围 ????????22.33??11.54??0.1883(rad) 由?x?f???可的，透镜L的焦距 f??x56.5??0.3(m) ??0.188319-10 在通常亮度情况下，人眼瞳孔的直径约为3mm，求人眼的最小分辨角？如果在黑板上画两根相距1cm的平行直线，问在距离黑板多远处恰好能够分辨这两根直线？
解：（1）D=3mm，在可见光中，人眼对5500?的黄绿光最敏感，将该波长值代入，得人眼最小分辨角为
θminλ5.5?10?7?1.22?1.22?2.2?10?4rad ?3D3?10（2）设平行线间距为l，人到黑板距离为x，两平行线对人眼所张角为β，β若刚好分辨，则有β?l/x
?θmin，所以
x?lθmin1?10?2??45.5m ?42.2?10
19-11为了使望远镜能分辨角间距为3.00×10-7rad的两颗星，其物镜的直径至少应多大？（可见光中心波长为550nm）
解:此题的分析思路与上题相同,根据瑞利判据有
??3.00?10?7?1.22?D
1.22?550?10?6?2237mm?2.24m 由此,可得物镜的直径应满足 D?3.00?10?719-12一束X射线含有0.095nm到0.13nm范围的各种波长，以掠射角45o入射到晶体上。已知晶格常数为0.275nm。求该晶体对哪些波长的X射线产生强反射？ 解:根据布拉格公式 2dsin??k?
2dsin?2?0.275?sin45?0.3889?? ?? kkk
大学物理下第19章习题详解
