3.1.3．空间向量的数量积（1）
学习目标 1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题． 学习过程 一、课前准备 （预习教材P90~ P92，找出疑惑之处）
rr复习1：什么是平面向量a与b的数量积？
uuuruuur复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC中，求AB?BC.
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务一：空间向量的数量积定义和性质
问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线
的夹角和空间线段的长度问题？
新知：
uuurruuurrrr1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量a,b，在空间 一点O，作OA?a,OB?b，
rr则?AOB叫做向量a与b的夹角，记作 .
试试：
rr⑴ 范围: ??a,b?? rrrrrrrr?a,b?=0时,a与b ;?a,b?=π时,a与b
rrrr⑵ ?a,b???b,a?成立吗？
rrrr⑶?a,b?? ，则称a与b互相垂直，记作 .
2) 向量的数量积：
rrrrrrrr已知向量a,b，则 叫做a,b的数量积，记作a?b，即a?b? .
规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
反思：
⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？
rrr⑵ 0?a? （选0还是0）
rr⑶ 你能说出a?b的几何意义吗？ 3) 空间向量数量积的性质：
rrrrrr（1）设单位向量e，则a?e?|a|cos?a,e?．
rrrr（2）a?b?a?b? ．
rr（3）a?a? ＝ .
4) 空间向量数量积运算律：
rrrrrr（1）(?a)?b??(a?b)?a?(?b)．
rrrr（2）a?b?b?a（交换律）．
rrrrrrr（3）a?(b?c)?a?b?a?c（分配律
反思：
rrrrrr（a?b)?c?a?(b?c)吗？举例说明. ⑴
rrrrrr⑵ 若a?b?a?c，则b?c吗？举例说明.
rrrrrr⑶ 若a?b?0，则a?0或b?0吗？为什么？
※ 典型例题
例1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
变式1：用向量方法证明：已知：m,n是平面?内的两条相交直线，直线l与平面?的交点为B，且l?m,l?n. 求证：l??．
例2 如图，在空间四边形ABCD中，AB?2，BC?3，BD?23，CD?3，?ABD?30o，?ABC?60o，求AB与CD的夹角的余弦值
D
A C
变式：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若 B AB=2BB1,则AB1与C1B所成的角为（ ）
A. 60° B. 90° C. 105° D. 75°
例3 如图，在平行四边形ABCD-A1B1C1D1中，AB?4,AD?3,AA'?5,?BAD?90?,?BAA'=
?DAA'=60°,求AC'的长.
※ 动手试试 练1. 已知向量
rrrr2rr练2. 已知a?22,b?,a?b??2, 则a与b的夹角大小为_____.
2
三、总结提升 ※ 学习小结
1..向量的数量积的定义和几何意义. 2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.
※ 知识拓展
向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法. ruuruua,brrrrrr满足a?1，b?2，a?b?3，则a?b?____.
学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列命题中：
rrrrr①若a?b?0，则a，b中至少一个为0
rrrrrrrr②若a?0且a?b?a?c，则b?c
rrrrrr③(a?b)?c?a?(b?c)
rrrrr2r2④(3a?2b)?(3a?2b)?9a?4b
正确有个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
uruuruurur?2. 已知e1和e2是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与2e2?e1垂直的是（ ）
3uruururuururuurA. e1?e2 B. e1?e2 C. e1 D. e2
uuuruuur3.已知?ABC中，?A,?B,?C所对的边为a,b,c，且a?3,b?1,?C?30?,则BC?CA=
rrrrrrrr4. 已知a?4，b?2，且a和b不共线，当 a??b与a??b的夹角是锐角时，?的取值范围是 .
ruuruurrrrrr5. 已知向量a,b满足a?4，b?2，a?b?3，则a?b?____ 课后作业：
1. 已知空间四边形ABCD中，AB?CD，AC?BD，求证：AD?BC.
D
A C
B
2. 已知线段AB、BD在平面?内,BD⊥AB, 线段AC??,如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D间的距离.
§3.1.4 空间向量的正交分解
及其坐标表示
学习目标 1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；
2. 掌握空间向量的坐标运算的规律； 学习过程 一、课前准备 （预习教材P92-96找出疑惑之处） 复习1：平面向量基本定理：
urrur对平面上的任意一个向量P，a,b是平面上两个 向量，总
urrur是存在 实数对?x,y?，使得向量P可以用a,b来表示，表达式为 ，
urrrrur其中a,b叫做 . 若a?b，则称向量P正交分解.
复习2：平面向量的坐标表示：
平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的 向量 rrrrrri,j作为基底，对平面上任意向量a，有且只有一对实数x，y，使得a?xi?yj，，则称有序对?x,y?
rr为向量a的 ，即a＝ .
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务一：空间向量的正交分解
r问题：对空间的任意向量a，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？
新知：
uuruurr⑴ 空间向量的正交分解：空间的任意向量a，均可分解为不共面的三个向量?1a1、?2a2、
ruuruuruuruuruuruuruur?3a3，使a??1a1??2a2??3a3. 如果a1,a2,a3两两 ，这种分解就是空间向量的正交分解.
rrr(2)空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c ，
ururrrr对空间任一向量p，存在有序实数组{x,y,z}，使得p?xa?yb?zc. 把 的一个基底，rrra,b,c都叫做基向量.
反思：空间任意一个向量的基底有 个.
⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.
⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、
rrrry轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{x,y,z}，使得a?xi?yj?zk，则称有序
urp实数组{x,y,z}为向量a的坐标，记着? .
uuur⑸设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB＝ .
⑹向量的直角坐标运算：
设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则 ⑴a＋b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； ⑵a－b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)；
辽宁省葫芦岛市第八高级中学高中数学 3.1.3空间向量的数量积(1)导学案（无答案）新人教A版选修2-1
