高中数学：导数与函数的单调性练习

高中数学：导数与函数的单调性练习

(时间:30分钟)

1.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( B )

解析:由导函数的图象知，在[-1，1]上f′(x)>0，故函数f(x)在[-1，1]上是单调递增的.又因为在[-1，0]上f′(x)的值逐渐增大，在[0，1]上f′(x)的值逐渐减小，所以在[-1，0]上，f(x)的增长率逐渐增大，在[0，1]上 f(x) 的增长率逐渐变小.故选B. 2.函数f(x)=x-ln x的单调递减区间为( A ) (A)(0，1) (B)(0，+∞) (C)(1，+∞)

(D)(-∞，0)∪(1，+∞)

，令f′(x)<0，解得0

解析:函数的定义域是(0，+∞)，且f′(x)=1-=所以单调递减区间是(0，1).

3.已知f(x)=1+x-sin x，则f(2)，f(3)，f(π)的大小关系正确的是( D ) (A)f(2)>f(3)>f(π) (C)f(2)>f(π)>f(3)

(B)f(3)>f(2)>f(π) (D)f(π)>f(3)>f(2)

解析:因为f(x)=1+x-sin x，所以f′(x)=1-cos x， 当x∈(0，π]时，f′(x)>0， 所以f(x)在(0，π]上是增函数， 所以f(π)>f(3)>f(2).

4.(山东淄博桓台二中月考)若函数f(x)=kx-ln x在区间(2，+∞)上单调递增，则k的取值范

围是( B )

(A)(-∞，-2] (B)[，+∞) (C)[2，+∞)

(D)(-∞，)

解析:f′(x)=k-，

因为函数f(x)=kx-ln x在区间(2，+∞)上单调递增， 所以f′(x)≥0在区间(2，+∞)上恒成立. 所以k≥，而y=在区间(2，+∞)上单调递减， 所以k≥，

所以k的取值范围是[，+∞).

5.(湖南长沙长郡中学月考)求形如y=f(x)g(x)的函数的导数，我们常采用以下做法:先两边同取自然对数得ln y=g(x)ln f(x)，再两边同时求导得·y′=g′(x)ln f(x)+g(x)·(x)，于是得到

y′=f(x)g(x)[g′(x)ln f(x)+g(x)·是( C )

(A)(e，4) (B)(3，6) (C)(0，e) (D)(2，3)

·f′(x)]，运用此方法求得函数y=的单调递增区间

·f′

解析:由题设，y′=·(-·ln x+)=·令y′>0，得1-ln x>0，所以0

所以函数y=的单调递增区间为(0，e).故选C.

(x>0).

6.已知函数f(x)=(-x2+2x)ex(x∈R，e为自然对数的底数)，则函数f(x)的单调递增区间为 .

解析:因为f(x)=(-x2+2x)ex，

所以f′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex =(-x2+2)ex.

令f′(x)>0，则(-x2+2)ex>0， 因为ex>0，所以-x2+2>0， 解得-

，

，

).

所以函数f(x)的单调递增区间为(-答案:(-，

)

7.若函数f(x)=ax3+3x2-x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是 . 解析:由题意知f′(x)=3ax+6x-1，由函数f(x)恰好有三个单调区间，得f′(x)有两个不相等的零点，所以3ax2+6x-1=0需满足a≠0，且Δ=36+12a>0，解得a>-3，所以实数a的取值范围是(-3，0)∪(0，+∞). 答案:(-3，0)∪(0，+∞)

8.已知函数f(x)=x3+ax2-x+c，且a=f′(). (1)求a的值;

(2)求函数f(x)的单调区间. 解:(1)由f(x)=x3+ax2-x+c， 得f′(x)=3x2+2ax-1.

所以a=f′()=3×()2+2a×-1， 解得a=-1.

(2)由(1)可知f(x)=x3-x2-x+c， 则f′(x)=3x2-2x-1=3(x+)(x-1)， 令f′(x)>0，解得x>1或x<-; 令f′(x)<0，解得-

所以f(x)的单调递增区间是(-∞，-)和(1，+∞); f(x)的单调递减区间是(-，1).

2

能力提升(时间:15分钟)

9.(2017·山东卷)若函数exf(x)(e=2.718 28…，是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是( A ) (A)f(x)=2-x (B)f(x)=x2 (C)f(x)=3-x (D)f(x)=cos x

解析:若f(x)具有M性质，则[exf(x)]′=ex[f(x)+f′(x)]>0在f(x)的定义域上恒成立， 即f(x)+f′(x)>0在f(x)的定义域上恒成立.

对于选项A，f(x)+f′(x)=2-x-2-xln 2=2-x(1-ln 2)>0，符合题意. 经验证，选项B，C，D均不符合题意.故选A.

10.(惠州调研)已知函数f(x)=xsin x+cos x+x2，则不等式f(ln x)+f(ln )<2f(1)的解集为( D ) (A)(e，+∞)

(B)(0，e)

(C)(0，)∪(1，e) (D)(，e)

解析:f(x)=xsin x+cos x+x2是偶函数， 所以f(ln )=f(-ln x)=f(ln x)， 所以f(ln x)+f(ln )<2f(1)可变形为 f(ln x)

f′(x)=xcos x+2x=x(2+cos x)，

因为2+cos x>0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，在(-∞，0)上单调 递减，

所以f(ln x)

11.(重庆市一模)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x) 2f(0)，f(2)>e2f(0)

(C)f(ln 2)<2f(0)，f(2)>e2f(0) (D)f(ln 2)>2f(0)，f(2)

解析:令g(x)=，则g′(x)=<0，

故g(x)在R上递减，而ln 2>0，2>0， 故g(ln 2)

即<，<，

即f(ln 2)<2f(0)，f(2)

12.(安徽江南十校联考)设函数

f(x)=

x

2

-9ln x在区间

[a-1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是 . 解析:f(x)的定义域为(0，+∞)，且f′(x)=x-. 由f′(x)=x-<0，解得0

因为f(x)=x-9ln x在[a-1，a+1]上单调递减， 所以

答案:(1，2]

13.(天津滨海新区八校联考)设函数f(x)=x2ex. (1)求在点(1，f(1))处的切线方程; (2)求函数f(x)的单调区间;

(3)当x∈[-2，2]时，求使得不等式f(x)≤2a+1能成立的实数a的取值范围. 解:(1)因为f′(x)=x2ex+2xex， 所以k=f′(1)=3e，切点(1，e). 切线方程为3ex-y-2e=0.

(2)令f′(x)>0，即x(x+2)ex>0，

得f(x)在区间(-∞，-2)，(0，+∞)上单调递增，在区间(-2，0)上单调 递减.

(3)由(2)知，f(x)在区间(-2，0)上单调递减，在区间(0，2)上单调递增，fmin(x)=f(0)=0.

2

解得1