2024年高考数学（理）立体几何突破性讲练
07利用空间向量求空间角
一、考点传真：
能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用． 二、知识点梳理：
空间向量与空间角的关系 (1)两条异面直线所成角的求法
18|a·b|( 其中φ设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝□
|a||b|
?π?为异面直线a，b所成的角，范围是?0，? ).
2??
(2)直线和平面所成角的求法
如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量
e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝
|e·n|?π?，φ的取值范围是?0，?.
2?|e||n|?
(3)求二面角的大小
→20如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝□〈AB，→
CD〉．
如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．取值范围是[0，π]． 三、例题：
例1．（2024年全国3卷理数，19）如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE?ED1，BF?2FB1.
（1）证明：点C1在平面AEF内；
（2）若AB?2，AD?1，AA1?3，求二面角A?EF?A1的正弦值.
例2.（2024年江苏卷，22）在三棱锥A?BCD中，已知CB?CD?5,BD?2,O为BD的中点，AO?平面
BCD,AO?2，E为AC的中点.
（1）求直线AB与DE所成角的余弦值； （2）若点F在BC上，满足BF?1BC，设二面角F?DE?C的大小为?，求sin?的值. 4例3. （2024全国Ⅰ卷）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，
N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
例4. （2024北京卷）如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，AD?CD，ADBC，
PA?AD?CD?2，BC?3．E为PD的中点，点F在PC上，且
（Ⅰ）求证：CD?平面PAD； （Ⅱ）求二面角F?AE?P的余弦值; （Ⅲ）设点G在PB上，且
PF1?． PC3PG2?.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由. PB3例5. （2024浙江卷）如图，已知三棱柱ABC?A1B1C1，平面A1ACC1?平面ABC,?ABC?90?，
?BAC?30?,A1A?AC?AC,E,F分别是AC，A1B1的中点. 1
专题07利用空间向量求空间角(原卷版) -2024年高考数学(理)立体几何突破性讲练
