复数
一、知识点梳理： 1、i的周期性： i=1，所以，i
4
4n+1
=i, i
4n+2
=-1, i
4n+3
=-i, i=1?n?Z?
4n
i4n?i4n?1?i4n?2?i4n?3?0?n?Z?
2、复数的代数形式：a?bi?a,b?R?，a叫实部，b叫虚部，实部和虚部都是实数。
C??a?bi|a,b?R?叫做复数集。NZQRC.
3、复数相等：a?bi?c?di?a?c且b=d；a?bi?0?a?0且b=0
?实数 (b=0)?4、复数的分类：复数Z?a?bi??一般虚数(b?0,a?0)
虚数 (b?0)???纯虚数(b?0,a?0)?虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是3?i,6?2i也没有大小。
uuruur
5、复数的模：若向量OZ表示复数z，则称OZ的模r为复数z的模， z?|a?bi|?积或商的模可利用模的性质（1）z1?Lzn?z1?z2?L?zn，（2）6、复数的几何意义：
a2?b2；
zz1?1z2z2?z2?0?
?复平面内的点Z(a,b) 复数z?a?bi?a,b?R?????一一对应复数Z?a?bi?a,b?R?一一对应uur平面向量OZ， ?7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x轴叫做实轴，
y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
8、复数代数形式的加减运算
复数z1与z2的和：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. ?a,b,c,d?R? 复数z1与z2的差：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. ?a,b,c,d?R? 复数的加法运算满足交换律和结合律
数加法的几何意义：复数z1=a+bi，z2=c+di?a,b,c,d?R?；OZ= OZ1+OZ2=(a，b)+(c，
d)=(a+c，b+d)＝(a+c)+(b+d)i
uururuuuuruuuur复数减法的几何意义：复数z1-z2的差(a－c)+(b－d)i对应由于Z2Z1?OZ1?OZ2，两个
复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
uur? zB－zA.，zuuur?AB?z?z为两点间的距离。 9. 特别地，zuBAABAB|z?z1|?|z?z2|z对应的点的轨迹是线段Z1Z2的垂直平分线；|z?z0|?r， z对应的点的
轨迹是一个圆；|z?z1|?|z?z2|?2aZ1Z2?2a， z对应的点的轨迹是一个椭圆；
??|z?z1|?|z?z2|?2a?Z1Z2?2a?， z对应的点的轨迹是双曲线。
z1?z2?z1?z2?z1?z2z1?z2?z1?z2?2z1?z22210、显然有公式：
?22?
11、复数的乘除法运算：
复数的乘法：z1z2= (a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. ?a,b,c,d?R? 复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。
*
实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z,z,z∈C及m,n∈N有:
123mnm+nmnmnnnnzz=z, (z)=z, (zz)=zz.
1212复数的除法：
z1a?biac?bdbc?ad?(a+bi)?(c+di)==?i ?a,b,c,d?R?，分母实z2c?dic2?d2c2?d2数化是常规方法
12、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；
z?a?bi,z?a?bi?a,b?R?，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。z?|z|?a2?b2 z?z?a?b?R,z?z?z?z，z1?z2?z1?z2,2222z1?z2?z1?z2,?z1?z1??? ?z2?z213、熟记常用算式：??i，(1?i)?2i，(1?i)??2i，14、复数的代数式运算技巧：
1i221?i1?i?i，??i 1?i1?i1?i1?i?i??i22(1?i)?2i(1?i)??2i（1）① ② ③1?i ④1?i
????（2）“1”的立方根
123i2的性质：
2①??1 ②??? ③1?????0 ④15、实系数一元二次方程的根问题：
32??1???11 ⑤???
（1）当??b2?4ac?0时，方程有两个实根 x1,x2。
（2）当??b2?4ac?0时，方程有两个共轭虚根，其中 x1?x2。
此时有 x1?x222?x1x2??b???ic且x1,2?。
2aa注意两种题型：(1)x1?x2 (2)x1?x2
虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等求解。但仍然适用
韦达定理。
已知x2?x1是实系数一元二次方程ax2?bx?c?0的两个根，求x2?x1的方法： （1）当??b?4ac?0时，
2b2?4acx2?x1?(x1?x2)?4x1x2?
a2(2)当??b?4ac?0时，
2x2?x1?(x1?x2)?4x1x2?224ac?b2a
已知x1,x2是实系数一元二次方程ax?bx?c?0的两个根，求x2?x1的方法：
（1）当??b2?4ac?0时，
bc①x1?x2?0,即?0，则 x2?x1?x1?x2?
aab2?4acc2②x1?x2?0,即?0，则 x2?x1?x1?x2?(x1?x2)?4x1x2?
aa2（2）当??b?4ac?0时，
x2?x1?2x1?2x1?x2?2二、典例分析：
ca
(1+i)
例1．（1）复数 等于( )
1－i
A.1－i B.1+i C.－1+ i D.－1－i
2
2i(1+i)
?i(1?i)??1?i，选C． 解析: 复数 =
1－i1?i（2）若复数z同时满足z－z＝2i，z＝iz（i为虚数单位），则z＝ ． 解：已知?Z?iZ?2i?Z?2i?i?1；
??2
1?i（3）设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是
A.ad－bc=0 B.ac－bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0
解析：（1）a,b,c?R,复数(a?bi)(c?di)=(ac?bd)?(ad?bc)i为实数，∴ad?bc?0，
选D； （4）已知
m?1?ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m?ni?（ ） 1?i(A)1+2i (B) 1－2i (C)2+i (D)2－i 解析：
?1?n?0m， ?1?ni?m??1?n???1?n?i，由m、n是实数，得?1?i1?n?m??n?1?m?ni?2?i，故选择C。
?m?2xy5，则x?y? 。 ??1?i1?2i1?3i∴?（5）设x,y为实数，且
解析：
xyx(1?i)y(1?2i)xyx2y????(?)?(?)i， 1?i1?2i252525而
55(1?3i)13xy1x2y3???i 所以??且??，解得x＝－1，y＝5， 1?3i1022252252所以x＋y＝4。
点评：本题考查复数的运算及性质，基础题。
?2????例2：（1）计算：
?1?23i?1?i???23?i 答案：?1?i
1996
（2）设复数z满足关系z?|z|?2?i，求z；
解：设z=a+bi（a,b为实数），由已知可得a?bi?a2?b2?2?i
?33?a?a2?b2?2由复数相等可得：?，解得a?,b?1，所以z??i
44??b?1设z=a+bi-x+yi（a,b为实数）复数问题实数化。 （3）若x?C，解方程|x|?1?3i?x
解：设x=a+bi (a,b∈R)代入条件得:a2?b2?1?a?(3?b)i,由复数相等的定义可得：
?a2?b2?1?a,∴a=－4，b=3，∴x=－4+3i。 ?3?b?0?例3：(1)复数z满足|z?i|?|z?i|?1，则z对应的点在复平面内表示的图形为（A） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
2222
解：令z=x+yi（x，y∈R），则x+(y+1)－[x+(y－1)]=1，∴y=1/4。故选A。 （2）设复数z满足：|z?3?3i|?223，求|z|的最大值与最小值；
解：|z|的最大值为33，最小值为3；
（3）已知z∈C，|z－2|=1且复数z－2对应的点落在直线y=x上，求z。 解：设z－2=a+ai，∵|z－2|=1，∴a??2， 2∴z?2?2222?i或z?2??i。 2222【思维点拨】从整体出发利用条件，可简化运算，本题也可设z=a+bi再利用条件，但运算
复杂。
(4)设z?C,1?|z|?2，则复数u?z(1?i)，在复平面内对应的图形面积为_______。
22解：∵|u|=|z|?|1+i|=2|z|，∴2≤|u|≤2，故面积S=?[2?(2)]?2?。
【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。
例4：已知z=1+i，a，b为实数， (1)若ω=z+3z－4,求|ω|;
2
z2?az?b?1?i，求a，b的值。 (2)若2z?z?1解：（1）ω=(1+i)+3(1－i)－4=―1―i，∴|?|?2
2。
?a??1(a?b)?(a?2)i（2）由条件。 ?1?i，∴(a?b)?(a?2)i?1?i，∴?ib?2?【思维点拨】利用复数的充要条件解题。
例5：设z?C,且
z是纯虚数，求|z?i|的最大值。 z?1zx2?y2?xy解：令z=x+yi（x，y∈R），则，??z?1(x?1)2?y2(x?1)2?y2∵
z是纯虚数， z?1O －1 y P 1/2 x 121?x2?y2?x?02∴?，即(x?)?y?(y?0)，由数形结
y?024?合可知本题是求圆(x?)?y?12221(y?0)上的点到A(0,－1)4的最大距离。∴|z?i|max=|PA|=
5?1。 2
（完整word版）上海高中数学-复数讲义
