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年 级 内容标题
高一 学 科 数学 版 本 人教实验A版 对数运算、对数函数 【本讲教育信息】
一. 教学内容：
对数运算、对数函数
二. 重点、难点： 1. 对数运算
a?0,b?0,a?1,b?1,M?0,N?0
x（1）logaN?x?a?N
（2）loga1?0 （3）logaa?1
（4）aa?N
（5）loga(M?N)?logaM?logaN
logNM?logaM?logaN Nx（7）logaM?x?logaM
（6）loga（8）logaM?logbM/logba
ylogab x（10）logab?logba?1
2. 对数函数y?logax，a?0且a?1 定义域 （0,??）
（9）logaxb?y值域 R
单调性 a?(0,1)? a?(1,??)?
奇偶性 非奇非偶 过定点 （1，0）
y?logax与y?log1x关于x轴对称 图象
a
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【典型例题】
[例1] 求值
（1）()19log37? ；
3?log1520?log154? ； 22（3）(log62)?log62?log63?log618? ；
（2）log152?log15（4）log916?log3281? ；
（5）(log43?log83)(log35?log95)?(log52?log252)? ； （6）lg25?lg2?lg50?(lg2)? 。 解：
（1）原式?(3)?2log37?2log37log37?22?3?3?7?2?1 49（2）原式?log1515?1
（3）原式?log62?(log62?log63)?log618
?log62?log618 ?log636
?2448（4）原式?(log32)?(log23)?
25553315（5）原式?(log23)?(log35)?(log52)?
6228（6）原式?lg25?lg2(lg50?lg2)
?lg25?2lg2 ?lg100
?2
[例2] 若x,y,z满足log2[log1(log2x)]?log3[log1(log3y)]?log5[log1(log5z)]
235?0，试比较x、y、z的大小关系。
1115
解：log2〔log1 (log2x)〕＝0?log1(log2x)＝1?log2x＝?x＝2＝(2)30.
222同理可得 y＝33＝(310)
10
15
6
1306 55＝(5),z＝130130.
∵3>2>5，由幂函数y＝x在(0，+∞)上递增知，y>x>z.
[例3] 若loga1b1?loga2b2?……?loganbn??，则log(a1a2?an)(b1?b2?bn)? 。
???解：由已知b1?a1，b2?a2?bn?an
?∴ (b1?bn)?(a1?an)
∴ log(a1?an)(b1b2?bn)??
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[例4] 图中四条对数函数y?logax图象，底数a为3,C1，C2，C3，C4的值依次为（ ）
A.
431,,这四个值，则相对应的35104313,,, B. 35104134314133,,, C. ,3,, D. ,3,, 310535103105答案：A
[例5] 求下列函数定义域
（1）y?lg[lg(lgx)]
（2）y?lg(x?3x?4) （3）y?2
log1(x?1)
2解：
（1）lg[lgx]?0?lg1 ∴ lgx?1 ∴ x?(10,??) （2）x?3x?4?0 x?(??,?1)?(4,??) （3）0?x?1?1 x?(1,2]
[例6] 求下列函数的增区间
（1）y?log2x?1 （2）y?log1(x?2x?8)
222解：
（1）y?log2t? t?x?1 (??,1)?(1,??)? ∴ y?f(x)在（1,??）?
2（2）y?log1t? t?x?2x?8 (??,?2)?(4,??)?
2∴ y?f(x)在(??,?2)?
[例7] 研究函数y?f(x)?log2(x2?1?x)的定义域、值域、奇偶性、单调性。
解：（1）x?1?2x2?x?x ∴ x2?1?x?0 ∴ 定义域为R
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（2）x?R
x2?1?x?(0,??) ∴ y?R为值域
1x2?1?x（3）f(?x)?log2[(?x)2?1?(?x)]?log2(x2?1?x) ?log2∴ 奇函数
（4）x?(0,??)时，y?log2(x?1?x)?log22?log2(x2?1?x)?1??f(x)
1x?1?x2
t?1x?1?x2? y?log2t? ∴ y?f(x)在(0,??)上?
∵ 奇函数 ∴ y?f(x)为R上?
[例8] 已知x?(0,1)，a?0且a?1，试比较loga(1?x)与loga(1?x)的大小关系。
解：
（1）a?(0,1)时，loga(1?x)?loga(1?x)
??loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x2)?0
（2）a?(1,??)时，loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)
?loga(1?x2)?0
综上所述，loga(1?x)?loga(1?x)
2[例9] 函数y?f(x)?log2(kx?4kx?3)
（1）若定义域为R，求k的取值范围。 （2）若值域为R，求k的取值范围。 解：
（1）k?0时，y?log23 x?R
?k?033k?[0,) ?0?k? ∴ ?244???16k?12k?0?k?03（2）??k?[,??) 24??16k?12k?0?
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 求值：
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1?log52)? ； 125lg4?lg5?1? ； （2）
2lg0.5?lg8（3）(log26)(log36)?(log23?log32)? ；
（1）(（4）lg2?lg3?(lg6)?lg66?2lg6? 。 2. 正实数x,y满足3?4?6
xyz2111?? zx2y（2）比较3x,4y,6y的大小关系
3. 已知log32?a，log52?b试用a,b表示log3090
（1）求证：
224. x?(1,d)，a?logdx，b?logdx，c?logd(logdx)，试比较a,b,c大小关系。
ab,logb,logba,logab的大小关系是 。 ba 6. n?m?1，试比较logmn与log2m2n的大小关系。
5. 若a?b?a?1，则loga2x 7. 研究函数y?f(x)?loga(a?1)（a?0且a?1）的定义域及单调性。
【试题答案】
1.
?3(?log52)?5log58?8 （1）5lg2（2）原式?2?1
lg（3）(1?log23)(1?log32)?(log23?log32)?2
（4）lg2?lg3?(lg6?1)?lg6?1?lg6?1 2.
xyzk（1）令3?4?6?10?0
2kkky?z?
lg3lg4lg61111??(lg6?lg3)?lg2 zxkk1lg41??lg2 ∴ 成立 2y2kk3k4k3lg4?4lg3??k?（2）3x?4y? lg3lg4lg3?lg4k?[lg64?lg81]?0 ?lg3?lg4∴ x?精品资料 欢迎下载
4k6kk???[4lg6?6lg4] lg4lg6lg4?lg62k[lg36?lg64]?0 ?lg4?lg6∴ 3x?4y?6z 4y?6z??1?log23??a3. ?
1??log52??b21?log2901?2log3?log5ab?ab?a?2b 22?? log3090?11log2301?logab?a?b23?log251??ab4. a?logdx?logdx b?2?logdx ∵ logdx?(0,1)
1? ∴ b?a?0?c
ab1?1?logab?0 log?1?loga?0?(0,) bbba21balogb?(1,2) log ∴ a?(,1)logb?loga?log?logababba2ablog2n1?log2nlog2n?log2m???0 6. logmn?log2m2n?log2m1?log2mlog2m(1?log2m)5. loga7.
x0（1）a?(0,1) a?1?a ∴ 定义域为(??,0) y?logat?
t?ax?1? ∴ y?f(x)?
（2）a?(1,??) a?1?a ∴ 定义域为(0,??)
x0y?logat? t?ax?1? ∴ y?f(x)?
第三章对数函数的运算法则（全）
