课时作业24 正弦定理、余弦定理
一、选择题
7
1．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，c－a＝2，b＝3，则a＝( A )
85
A．2 B.
27
C．3 D.
2
71b＋c－a解析：由题意可得c＝a＋2，b＝3，cosA＝，由余弦定理，得cosA＝·，
82bc79＋a＋2－a代入数据，得＝，解方程可得a＝2.
82×3a＋2
2．(2019·湖北黄冈质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝5
b，2
2
2
2
2
2
A＝2B，则cosB＝( B )
A.C.
55 B. 3455 D. 56
5
sinB，又A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，所2
解析：由正弦定理，得sinA＝以cosB＝5. 4
3．(2019·成都诊断性检测)已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，则“sinA>sinB”是“tanA>tanB”的( C )
1
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：在锐角△ABC中，根据正弦定理＝，知sinA>sinB?a>b?A>B，而正切
sinAsinBπ
函数y＝tanx在(0，)上单调递增，所以A>B?tanA>tanB.故选C.
2
4．(2019·武汉调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 abcbcsinC解析：根据正弦定理得＝ bsinBπ sin(A＋B) 2 ABC为钝角三角形． 5．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为 a2＋b2－c2 4A.C. ，则C＝( C ) ππ B. 23ππ D. 46 2 2 2 2 2 2 1a＋b－ca＋b－c解析：根据题意及三角形的面积公式知absinC＝，所以sinC＝＝242abcosC，所以在△ABC中，C＝ π . 4 6．(2019·河南洛阳高三统考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a， cb，c成等比数列，且a2＝c2＋ac－bc，则＝( B ) bsinBA.C. 323 B. 233 D.3 3 2 2 2 2 解析：由a，b，c成等比数列得b＝ac，则有a＝c＋b－bc，由余弦定理得cosA＝ b2＋c2－a2bc1π322 ＝＝，故A＝，对于b＝ac，由正弦定理得，sinB＝sinAsinC＝·sinC，2bc2bc232 由正弦定理得， sinCsinC23 ＝2＝＝.故选B. bsinBsinB33 sinC2 c二、填空题 2 7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝3，则S△ABC＝ 3. 2 13 解析：因为角A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°.由正弦定理，得＝， sinAsin60°113 解得sinA＝，因为0° 222 8．(2019·福州四校联考)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足(a＋b)sin＝12，(a－b)cos＝5，则c＝13. 22 解析：∵(a＋b)sin＝12，(a－b)cos＝5，∴(a＋b)sin＝144 ①，(a－b)cos＝ 222225 ②，①＋②得，a＋b－2ab(cos－sin)＝169，∴a＋b－2abcosC＝c＝169，∴c22＝13. 9．(2019·开封高三定位考试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btanB＋btanA＝2ctanB，且a＝5，△ABC的面积为23，则b＋c的值为7. 解析：由正弦定理及btanB＋btanA＝2ctanB，得sinB· sinBsinA＋sinB·＝cosBcosA2 2 2 CCCC22 C22 CC2 C222 sinB2sinC·，即cosAsinB＋sinAcosB＝2sinCcosA，亦即sin(A＋B)＝2sinCcosA，故sinCcosB1π1 ＝2sinCcosA.因为sinC≠0，所以cosA＝，所以A＝.由面积公式，知S△ABC＝bcsinA＝ 23223，所以bc＝8.由余弦定理，知a＝b＋c－2bccosA＝(b＋c)－3bc，代入可得b＋c＝7. 三、解答题 10．(2019·惠州市调研考试)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cosC(acosC＋ccosA)＋b＝0. (1)求角C的大小； (2)若b＝2，c＝23，求△ABC的面积． 解：(1)∵2cosC(acosC＋ccosA)＋b＝0， ∴由正弦定理可得 2cosC(sinAcosC＋sinCcosA)＋sinB＝0， ∴2cosCsin(A＋C)＋sinB＝0，即2cosCsinB＋sinB＝0， 1 又0° 2又0° (2)由余弦定理可得(23)＝a＋2－2×2acos120°＝a＋2a＋4，又a>0， 1 ∴解得a＝2，∴S△ABC＝absinC＝3，∴△ABC的面积为3. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 11．(2019·重庆市质量调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin 2 BB1－cos＝. 24 (1)求cosB的值； (2)若b－a＝ 2 2 31sinCac，求的值． 4sinABB1115 解：(1)将sin－cos＝两边同时平方得，1－sinB＝，得sinB＝， 2241616 故cosB＝±31BB1 ，又sin－cos＝>0， 16224 所以sin>cos， 22 BBBπππ31 所以∈(，)，所以B∈(，π)，故cosB＝－. 242216 (2)由余弦定理得b＝a＋c－2accosB＝a＋所以3131 a＝c－2acosB＝c＋a， 48 31sinC31 a，故＝. 8sinA8 2 2 2 2 31 ac， 4 所以c＝ 12．(2018·北京卷)若△ABC的面积为 3222 (a＋c－b)，且∠C为钝角，则∠B＝60°；4 c的取值范围是(2，＋∞)． a132223 解析：△ABC的面积S＝acsinB＝(a＋c－b)＝×2accosB，所以tanB＝3，因 244 4 为0°<∠B<180°，所以∠B＝60°.因为∠C为钝角，所以0°<∠A<30°，所以0 sin－A3csinC所以＝＝＝ asinAsinA2π2πsincosA－cossinA3331 ＝＋>2， sinA2tanA2故的取值范围为(2，＋∞)． 3 ，3 ca13．(2019·山西八校联考)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且(a＋ c)2＝b2＋3ac. (1)求角B的大小； (2)若b＝2，且sinB＋sin(C－A)＝2sin2A，求△ABC的面积． 解：(1)由(a＋c)＝b＋3ac，整理得a＋c－b＝ac， 2 2 2 2 2 a2＋c2－b2ac1 由余弦定理得cosB＝＝＝， 2ac2ac2 π ∵0 3 (2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，即B＝π－(A＋C)，故sinB＝sin(A＋C)， 由已知sinB＋sin(C－A)＝2sin2A可得sin(A＋C)＋sin(C－A)＝2sin2A， ∴sinAcosC＋cosAsinC＋sinCcosA－cosCsinA＝4sinAcosA， 整理得cosAsinC＝2sinAcosA. π 若cosA＝0，则A＝， 2223 由b＝2，可得c＝＝， tanB3123 此时△ABC的面积S＝bc＝. 23若cosA≠0，则sinC＝2sinA， 由正弦定理可知，c＝2a， 代入a＋c－b＝ac，整理可得3a＝4， 2343 解得a＝，∴c＝， 33 123 此时△ABC的面积S＝acsinB＝. 2323 综上所述，△ABC的面积为. 3 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 14．(2019·南宁、柳州联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc＝1，b＋2ccosA＝0，则当角B取得最大值时，△ABC的周长为( A ) 5 2 2 2 2
2020版高考数学一轮复习课时作业24正弦定理、余弦定理(理)(含解析)新人教版
