22．（本小题满分12分）已知函数f(x)?e?ax?x?1（其中a?R，e为自然对数的底数）.
（Ⅰ）当a?0时，求函数f(x)的极值；
（Ⅱ）当x?0时，若关于x的不等式f(x)?0恒成立 ，求实数a的取值范围； （Ⅲ）当x?0时，证明：(e?1)ln(x?1)?x.
2019学年度下期高二6月月考检测
理科数学答案
一、选择题：（每小题5分，共60分）
（1~5）ACBCD （6~10）BDBDA （11~12）AB 二、填空题：（每小题5分，共20分）
13、45 14、3 15、?4 16、3
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17、（本小题满分10分）
x2x2
18、（本小题满分12分）
22解：（Ⅰ）∵2Sn?an?an(n?N*) ∴当n?2时，2Sn?1?an?1?an?1 2 两式相减得2an?(an2?an?1)?(an?an?1)?an?an?1?(an?an?1)(an?an?1)
∵{an}是正项数列 ∴an?an?1?0，从而an?an?1?1(n?2)，即{an}是公差为1的等差数列
- 6 -
又∵
a1?1 ∴
an?1?(n?1)?1?n； ……………………6分
（Ⅱ）
bn?11?2n?5??2n?5. ………………ann2212111??L?)?2(1?2?3?L?n)?5n 23n222……7分
Tn?b1?b2?b3?L?bn?(?111?n?222?n(n?1)?5n ? 11?2
?n2?4n?1?112?(n?2)?3? ……………………10分 2n2n2当n?2时，因为(n?2)?3和?1都是关于n的增函数，故Tn是关于n的增函数，则2nT2?T3?T4?L.
又因为T1??于
51013??，T2??，所以T1?T2； 244是
(Tn)min?T2??………12分
13. ……………419、（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）数学成绩的中位数是100分，物理成绩的平均数为100分． ……………………2分 （Ⅱ）?可以取的值为0、1、2，则
112C4?C3C321C424P???0??2?,P???1???,P???2??2? 2C77C77C77 - 7 -
得?的分布列为：
? P 数
0 1 2 27 学47 17 期望
是
2416E(?)?0??1??2??． ……………………
77777分
（Ⅲ）∵数学成绩的平均分为x?100，物理成绩的平均分为y?100
??∴b70497?7?100?10011?，从而?a?100??100?50 270994?7?100221x?50 2??∴y关于x的线性回归方程为y当x?110时，y?105，即当他数学成绩为110分时，预测他物理成绩为105分． ……………………12分
20、（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：?M是中点，由平面几何知识得?BCM是等腰直角三角形，取BM中点O，连结CO,EO
?在?BCM中,由CO?BM,BC?CM?2得CO?2
又平面BCM?平面ABME，又平面BCM?平面ABME?BM
?CO?平面ABME，
?DE?ME,DE?AE,AEIME?E ∴DE?平面ABME ?CO//DE,又DE?2?CO ?四边形CDEO是平行四边形
?CD//OE,又CD?平面ABME,OE?平面ABME ?CD//平面
ABME． ……………………
6分
（Ⅱ）由第一问知可建立如图所示空间直角坐标系E?xyz 由平面几何知识得：BO?CO?2，
zC，，2) ?A(0，2，0),B(4，2，0),C(31
D- 8 - xMEOuuurAB?(4，0，0)，2，0) AC?(3，?1，2),EB?(4，ruuur??n?AB?0??4x?0设平面ABC的法向量为n?(x,y,z)，由??ruuur得?n?AC?0? ??3x?y?2z?0?x?0从而?，所以r?y?2n?(0,2，2)
??z?2?cos?rn,uEBuurr??n?uEBuur|rn|?|uEBuur|?43022?2?42?22?15 ?直
线
BE与平面
ABC所成角的正弦值3015． ……………………12分
21、（本小题满分12分） 解：(1)由e?12知ca?12?a?2c,b?3c， ∵右焦点F（2c,0)到直线xa?yb?1即3x?2y?23c?0的距离为217， 3∴
c?23c217?7解得c?1,a?2,b?3 ∴椭圆E的标准方程为x24?y23?1 ……………………………………5分
(2)由题可知直线l的斜率存在，故设过点P（x0,y0）的直线l：y?y0?k(x?x0) ∵直线l与圆(x?1)2?y2?1相切，∴
y0?k（x0?1） ……………………7分
1?k2?1整理得：(x22?1)k?y20?2x0)k?2y0(x00?1?0 （*） 关于k的（*）方程的两根k1,k2即为两条切线的斜率， ??4y2220(x0?1)2?4(x0?2x0)(y0?1)?0（x0?1）恒成立 ∴k2y0(x0?1)21?k2?x2x，k?kyo?112?2 ……………………9分 0?20x0?2x0由题易知A(0,y0?k1x0)，B(0,y0?k2x0)（x0?1）
为
- 9 -
4y0(x0?1)24（y0?1）∴AB?k1?k2x0?(k1?k2)?4k1k2?x0???x0……………10分 222（x0?2x0）x0?2x0222y0(x0?1)2?(y0?1)(x0?2x0)y?x0?2x0 ?2 ?202(x0?2)(x0?2)222222x2y2xy3x2∵点P（x0,y0在椭圆??1上，∴0?0?1即y0?3?0 ）43434∴AB?22244x0?8x0?12421 ∵，∴ 故 1???1?1?x?22?AB?02x0?23(x0?2)x0?2321] …………………………………………12分 32∴AB的取值范围是[2，
22、（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当a=0时，f(x)=ex?x?1，f?(x)=ex?1，
易知，当x?0时，f?(x)?0；当x?0时，f?(x)?0；当x=0时，f?(x)=0； 故f(x)的极小值为f(0)=0,无极大
值． ……………………3分
（Ⅱ）f?(x)=ex?2ax?1，令g(x）=ex?2ax?1，则g?(x）=ex?2a（x?0）， 当2a?1时，即a?即f?(x)?0，
1+??上单调递增，g(x）?g(0）时，g?(x）在?0，=0，?0，故g(x）2+??上单调递增，从而f(x)?f(0）所以f(x)在?0，=0恒成立；
当2a?1时，即a?1时，由g?(x）=0，解得x=ln(2a). 2 - 10 -
当x?(0,(ln2a))时，g?(x)?0，g(x)单调递减，g(x)?g(0)?0，即f?(x)?0 所以f(x)在(0,ln(2a))上单调递减，从而f(x)?f(0)?0，不合题意. 综上可知实数a的取值范围是
1(??,]. ……………………8分
2x21x（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a=时，当x?0时，f(x)?0，即e?1??x.
22欲证(ex?1)ln(x?1)?x2，只需证ln(x?1)?构造函数h(x)=ln(x?1)?2x即可. x?22x（x?0）， x?2x241?则h?(x)==?0恒成立，故h(x)在（0，+?）单调递增， x?1(x?2)2(x?1)(x?2)2从而h(x)?h(0)?0.即ln(x?1)?得证
2x2x. ?0，亦即ln(x?1)?
x?2x?2(ex?1)ln(x?1)?x2. ………………
……12分
- 11 -
（暑期一日一练）2020学年高二数学6月月考试题 理 人教 新版
