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第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题
一、直线恒过定点问题
例1. 已知动点E在直线l:y??2上，过点E分别作曲线C:x?4y的切线EA,EB， 切点为
2A、B, 求证：直线AB恒过一定点，并求出该定点的坐标；
解：设E(a,?2),A(xx2x212x21,4),B(x2,4)，?y?4?y'?12x 过点A的抛物线切线方程为y?x214?12x1(x?x1)，?切线过E点,??2?x214?12x1(a?x1),整理得：x21?2ax1?8?0
同理可得：x22?2ax2?8?0
?x1,x2是方程x2?2ax?8?0的两根?x1?x2?2a,x1?x2??8x22a2可得AB中点为(a,?4?y14?x21?y242)，又kABx?x?x1?x2?a 1?x21?x242?直线AB的方程为y?(a2 2?2)?a2(x?a)，即y?a2x?2?AB过定点(0,2).
例2、已知点P(xx20,y0)是椭圆E:2?y2?1上任意一点，直线l的方程为x0x2?y0y?1， 点与直线l垂直，点M（-1，0）关于直线l0的对称点为N，直线PN恒
过一定点G，求点G的坐标。
解：直线l0的方程为x0(y?y0)?2y0(x?x0)，即2y0x?x0y?x0y0?0 设M(?1,0)关于直线l0的对称点N的坐标为N(m,n)
??2x3?n??x20?m?0?3x0?4x0?4 则??m?12yx20x，解得?0?4??432
??2y?m?12?0n2?xy?0??n?2x0?4x0?4x0?8x0000?2y0(4?x20) 直线PN的斜率为k?n?y40x0?4x32? 0?2x0?8x0?8m?x?32 02y0(?x0?3x0?4)Word 文档
直线l0过P .
从而直线PN的方程为： y?yx40?4x30?2x20?8x0?80?2yx3(x?x0)
0(?0?3x20?4) 即x?2y0(?x30?3x20?4)x44x32y?1 0?0?2x0?8x0?8 从而直线PN恒过定点G(1,0) 二、恒为定值问题
例3、已知椭圆两焦点F21、F2在y轴上，短轴长为22，离心率为2，P是椭圆在第一点，且uPFuuruuuur1?PF2?1，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭
圆于A、B两点。 （1）求P点坐标；
（2）求证直线AB的斜率为定值；
）设椭圆方程为y2x2解：（1a2?b2?1，由题意可得
2y2x2 a?2,b?2,c?2，所以椭圆的方程为4?2?1
则F1(0,2),F2(0,?2)，设
P(x0,y0)(x0?0,y0?0) 则uPFuuryuuuur1?(?x0,2?0),PF2?(?x0,?2?y0),
?uPFuur1?uPFuuur2?x20?(2?y20)?1 Q点P(xx22200,y0)在曲线上，则2?y04?1. ?x24?y00?2 从而4?y202?(2?y20)?1，得y0?2，则点P的坐标为(1,2)。 （2）由（1）知PF1//x轴，直线PA、PB斜率互为相反数，
设PB斜率为k(k?0)，则PB的直线方程为：y?2?k(x?1)
? 由?y?2?k(x?1)?x2y2得(2?k2)x2?2k(2?k)x?(2?k)2?4?0
??2?4?1
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象限弧上一 .
2k(k?2)k2?22k?2?1? 设B(xB,yB),则xB? 222?k2?kk2?22k?242k 同理可得xA?，则 x?x?AB222?k2?k yA?yB??k(xA?1)?k(xB?1)? 所以直线AB的斜率kAB?8k 22?kyA?yB?2为定值。
xA?xBx2y2??1相交于A、B两 例4、已知动直线y?k(x?1)与椭圆C:553点,已知点
uuuruuur7 M(?,0)， 求证：MA?MB为定值.
3x2y2??1中得(1?3k2)x2?6k2x?3k2?5?0 解: 将y?k(x?1)代入
553 ???36k?4(3k?1)(3k?5)?48k?20?0，
42226k23k2?5 x1?x2??2，x1x2?
3k?13k2?1uuuruuur7777所以MA?MB?(x1?,y1)(x2?,y2)?(x1?)(x2?)?y1y2
333377?(x1?)(x2?)?k2(x1?1)(x2?1)
33749 ?(1?k2)x1x2?(?k2)(x1?x2)??k2
393k2?576k2492?(?k)(?2)??k2 ?(1?k)23k?133k?192?3k4?16k2?54942???k?。
3k2?199课后作业：
x2?y2?1.如图所示，斜率为k(k＞0)且不 过原点的直 1. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:3线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E， 射线OE交椭圆C于点G，交直线x??3于点
D(?3,m).
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（Ⅰ）求m2?k2的最小值； （Ⅱ）若OG?OD?
2OE，求证：直线l过定点；
解：（Ⅰ）由题意:设直线l:y?kx?n(n?0),
?y?kx?n?222(1?3k)x?6knx?3n?3?0, 由?x2消y得:2??y?1?3 ??36kn?4(1?3k)×3(n?1)?12(3k?1?n)?0 设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点E(x0,y0),则由韦达定理得:
222222x1?x2=
?6kn?3kn?3knn,即,, x?y?kx?n??k?n?0001?3k21?3k21?3k21?3k2?3knn,), 所以中点E的坐标为(1?3k21?3k2 因为O、E、D三点在同一直线上，
所以kOE?KOD，即? 所以m2?k2=
1m1??， 解得m?，
k3k31?k2?2,当且仅当k?1时取等号, 即m2?k2的最小值为2. 2km （Ⅱ）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为y??x,
3m?y??x?m2?3 所以由?2得交点G的纵坐标为yG?, 2m?3?x?y2?1??3m2nn2y?m?m? 又因为yE?,,且?，所以, OEOG?ODDm2?31?3k21?3k2 又由（Ⅰ）知: m?1,所以解得k?n,所以直线l的方程为l:y?kx?k, k 即有l:y?k(x?1), 令x??1得,y=0,与实数k无关,
所以直线l过定点(-1,0).
2 2. 已知点N为曲线y?4x(x?0)上的一点， 若A(4,0)，是否存在垂直x轴的直线l 被以AN为直
径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线l的方程；若不存在， 请说明理由． 解：设AN的中点为B，垂直于x轴的直线方程为x?a， 以AN为直径的圆交l于C,D两点，CD的中点为H．
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QCB?11222?CH?CB?BH?[(x?4)2?y2]?(x?2a?4)2
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x?4111?a?x?2a?4 AN?(x?4)2?y2，BH?2222
1 ?[(4a?12)x?4a2?16a]?(a?3)x?a2?4a
4 所以，令a?3，则对任意满足条件的x，
都有CH??9?12?3（与x无关）， 即CD?23为定值．
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圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)
