离散数学作业答案
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离散数学作业7
离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业
本课程形成性考核书面作业共3次，内
姓 名： 学 号： 得 分： 教师签名： 容
主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。
要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月19日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。
一、填空题
1．命题公式P?(Q?P)的真值是 1 ．
2．设P：他生病了，Q：他出差了．R：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 (PQ)R ．
3．含有三个命题变项P，Q，R的命题公式PQ的主析取范式是 (PQR) (PQR) ． 4．设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 (x)(P(x) →Q(x)) ．
5．设个体域D＝{a, b},那么谓词公式?xA(x)??yB(y)消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b)) ．
6．设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x大于3”，则谓词公式(x)A(x) 的真值为 ．
7．谓词命题公式(x)((A(x)B(x)) C(y))中的自由变元为 ．
8．谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x，y))中的约束变元为 X ． 三、公式翻译题
1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．1．解：设P：今天是天晴；
则 P． 2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．
解：设P：小王去旅游，Q：小李去旅游， 则 PQ．
3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式． 解：设P:明天天下雪 。 Q:我去滑雪
则 P Q．
4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．
7．解：设 P：他去旅游，Q：他有时间，
则 P Q．
5．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式． 11．解：设P(x)：x是人，Q(x)：x去工作，
则谓词公式 (x)(P(x) ┐Q(x))． 6．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式． 13．解：设P(x)：x是人，Q(x)：x努力工作． 则 谓词公式为 (x)(P(x) Q(x))．
四、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．） 1．命题公式PP的真值是1．
错误。命题公式PP是典型的恒假公式，其真值是0 2．命题公式P(PQ)P为永真式．
2．解：正确．
┐P∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）与P组成的析取式， 如果P的值为真，则┐P∧（P→┐Q）∨P为真，
如果P的值为假，则┐P与P→┐Q为真，即┐P∧（P→┐Q）为真， 也即┐P∧（P→┐Q）∨P为真，
所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式． 另种说明：
┐P∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）与P组成的析取式， 只要其中一项为真，则整个公式为真．
可以看到，不论P的值为真或为假，┐P∧（P→┐Q）与P总有一个为真， 所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式．
或用等价演算┐P∧（P→┐Q）∨PT
3．谓词公式?xP(x)?(?yG(x,y)??xP(x))是永真式．
解：正确
x P(x) （yG（x，y）x P(x)） ┐x P(x)∨（┐yG（x，y）∨x P(x)）
（┐x P(x)∨x P(x)）∨（┐yG（x，y） 1 ∨┐yG（x，y）1
4．下面的推理是否正确，请给予说明． (1) (x)A(x) B(x) 前提引入 (2) A(y) B(y) US (1)
解：错误． 因为B(x)不受全称量词 x的约束，不能使用全称指定规则 （2）应为A（y）→B（x），换名时，约束变元与自由变元不能混淆．
四．计算题
1． 求PQR的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式． 3．解：P→（R∨Q）
┐P∨(R∨Q)
┐P∨Q∨R （析取、合取、主合取范式）
(┐P∧┐Q∧┐R)∨(┐P∧┐Q∧R) ∨(┐P∧Q∧R) ∨
(┐P∧Q∧┐R)∨(P∧┐Q∧R) ∨(P∧Q∧┐R) ∨(P∧Q∧R) （主析取范式）
2．求命题公式(PQ)(RQ) 的主析取范式、主合取范式． 3．设谓词公式(?x)(P(x,y)?(?z)Q(y,x,z))?(?y)R(y,z)． （1）试写出量词的辖域；
（2）指出该公式的自由变元和约束变元．
解：（1）x量词的辖域为(P(x,y)??zQ(y,x,z))，
z量词的辖域为Q(y,x,z), y量词的辖域为R(y,z)．
（2）自由变元为(P(x,y)??zQ(y,x,z))与F(y)中的y，以及R(y,z)中的z
约束变元为(P(x,y)??zQ(y,x,z))中的x与Q(y,x,z)中的z，以及R(y,z)中的y． 4．设个体域为D={a1, a2}，求谓词公式yxP(x,y)消去量词后的等值式；
yxp(x，y) y （ xp(x，y) y （P（a1，y）∨P（a2，y））p(a1,a1) ∨p(a2,a1)) ∧P(a1,a2) ∨P(a2,a2)
五、证明题
1．试证明 (P(QR))PQ与 (PQ)等价． 证明：(P(QR))PQ(P(QR))PQ (PQR)PQ
(PPQ)(QPQ)(RPQ) (PQ)(PQ)(PQR)
PQ （吸收律） (PQ) （摩根律）
2．试证明(x)(P(x) R(x))(x)P(x) (x)R(x)． 证明：（1）（x）（P（x）∧R（x）） P （2）P（a）∧R（a） ES(1) （3）P（a） T(2)I （4）（x）P（x） EG(3)
（5）R（a） T(2)I
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