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2011年 - 2013“北约”、“华约”自主招生数学试题 - 图文

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2012年华约数学参考答案

一、选择题 ACBCA B略DDC 二、解答题

11解:(1)C=2/3∏;(2)cos2A?cos2B=3/4 12解:

AP?BP?2PH2(1)设P(x,y),则H(0,y),由得(x?2,y)?(x-2,y)?2x2,即y2-x2?4

(2)令CD:x?my?2(m?0)代入y?x?4,整理得

22(1?m2)y2?4my?8?0

因为直线在x轴下方交P点轨迹于C(x1,y1),D(x2,y2)两点所以上式有两个负根,由

?1?m2?0?22???16m?32(1?m)?0??y1?y2?4m20?1?m?2

1?m???8?0?y1y2?1?m2?根据韦达定理,得CD中点M的坐标为

M(x1?x2y1?y222m,)?(,) 221?m21?m2代入直线MQ的方程y+2=kx,(k为其斜率)得

2m2k ?2?221?m1?m所以,k=?m?m?1??(m?)?13解答:显然PK?21225?(2?1,1),(1?m?2). 4?Cn?0K?1n2k?1(1?p)np2k?1?n,

nnn?1n?2注意到C2k?1?C2k?1?2C2k?1?C2k?1,

所以PK?1=

k?Cn?0knn2k?1(1?p)p2k?1?n

=

?(Cn?0n2k?1n?1n?2n2k?1?n?2C2?C)(1?p)pk?12k?1

=n?0k?C?Ck?1kn2k?1(1?p)pn2k?1?n?2?Cn?1kkn?12k?1(1?p)pn2k?1?nn?2n2k?1?n??C2k?1(1?p)pn?2kk

n2k?1(1?p)pn2k?1?n=n?0?2?Cn?0n?12k?1(1?p)n?1p2k?nn?2n?22k?1?n??C2pk?1(1?p)n?0

=n?0?Cn2k?1(1?p)np2k?1?n(p2?2(1?p)p?(1?p2))

kkk?1k?1k?1k?C2?C2p k?1(1?p)pk?1(1?p)=n?0

?Ck?1n2k?1kkk(1?p)np2k?1?n?C2k?1(1?p)p(p?(1?p))

kKkP?C(1?p)p(2p?1) K2k?1=

因此,当p≥14证明:

11 时,{pk}递增,当P≥时,{pk}递减。 22用数学归纳法证明f2n?1(x)?0有唯一解x2n?1且严格单调递增,f2n(x)?0无实数解,显然

x2n=1时,此时f1(x)?1?x有唯一解x1??1,且严格单调递增,而f2(x)?1?x?无实

2数解,现在假设f2n?1(x)?0有唯一解x2n?1且严格单调递增,f2n(x)?0无实数解,于是注意到f2?n?1(x)?f2n(x),f2n?1时,对任意的0≤k≤n有x+2k+1≤0,于是

x2kx2kf2n?1(x)??(?(x?2k?1),所以f2n?1(?2n?1)?0,

(2k?1)!k?0(2k)!n又因为f2n?1(0)?1?0,所以由f2n?1(x)严格递增知f2n?1(x)?0有唯一根0?x2n?1??2n?1, 对于f2n?2(x)有f2n?2?f2?n?2(x)?f2n?1(x),所以(—∞,x2n?1)上,递减,在(x2n?1,+∞)上,递增,所以

2n?22n?2x2x2n?1n?1minf2n?2(x)?f2n?2(x2n?1)???0, x?R(2n?2)!(2n?2)!因此,f2n?2(x)?0无实数解

综上所述,对任意正整数n,当n为偶数时fn(x)?0无解,当n为奇数fn(x)?0有唯一解

xn。

再证x2n?1?x2n?1,事实上,由

f2n?1(x)的严格单调性,只需验证f2n?1(x2n?1)?0,注意到

2n2n?1f2n?1(x)-f2n?1(x)=x?x,由上述归纳法证明过程中,x2n?1??2n?1,所以

(2n)!(2n?1)!2n2n?12nx2x2x2n?1n?1n?1???(x2n?1?2n?1)?0, ff2n?1(x2n?1)??(2n)!(2n?1)!(2n?1)!因此x2n?1?x2n?1,综上所述,原命题得证。

215假设比赛了K场,那么由题目假设,一场比赛出现了2对队友,所以Cn=2k,也就是说

4k=n(n-1),那么得到n=4l或者4l+1,期中l?N,下边证明,对于任意的n=4l,或者4l+1,其中l?N,都可以构造出满足要求的比赛:n=4l+1,的时候,对于L使用数学归纳法: (1)当L=1的时候,N=5,此时假设这5名选手为A,B,C,D,E,那么如下安排比赛即可,AB-CD,AC-BE,BC-DE,AE-BD,AD-CE. (2)设当A,B,C,D,EE,

L=M

时结论成立,则

L=M+1

时,设

4M+5

选手为

F11,F12,F21,F22?,F21m,F22m,由归纳假设,可以安排

F11,F12,F21,F22,?,F21m,F22m之间的比赛,使得他们之间每两位选手的作为队友恰好只参

加过一次比赛,还剩下A,B,C,D,E,相互的比赛和A,B,C,D与赛,A,B,C,D与

12F11,F12,?,F21m,F22m之间的比

F11,F12,?,F21m,F22m211之间的比赛安排如下:

221AFL与BFL,AFL与BFL,CFL与DFL,CFL与DFL,满足要求。 最后将这些比赛总计起来,就是满足要求的4M+5位选手之间的的比赛了。 由数学归纳法得证,N=4L时,对L使用数学归纳法,可以类似方法证明(略)。 综上所述,N的所有可能取值是N=4L或4L+1,其中L?N.

2013年华约自主招生数学试题解析

1.设A??x|x?10,x?N?,B?A,且B中元素满足:①任意一个元素的各数位的数字互不相同;②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9; (1)求B中的两位数和三位数的个数; (2)是否存在五位数,六位数?

(3)若从小到大排列B中元素,求第1081个元素.

解析:将0,1,…,9这10个数字按照和为9进行配对,考虑(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),B中元素的每个数位只能从上面五对数中每对至多取一个数构成.

2221(1)两位数有C5?2?A2?C4?2?72个; 333222三位数有C5?2?A3?C4?2?A2?432个;

(2)存在五位数,只需从上述五个数对中每对取一个数即可构成符合条件的五位数;不存在六位数,由抽屉原理易知,若存在,则至少要从一个数对中取出两个数,则该两个数字之和为9,与B中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9矛盾,因此不存在六位数.

444333(3)四位数共有C5?2?A4?C4?2?A3?1728个,因此第1081个元素是四位数,且333是第577个四位数,我们考虑千位,千位1,2,3的四位数有3?C4?2?A3?576个,因

此第1081个元素是4012.

1?sinx?siny???32.已知?,求cos(x?y),sin(x?y).

1?cosx?cosy??5?解析:由sinx?siny?方面由①得2sin?11208①,cosx?cosy?②,平方相加得cos(x?y)?,另一352251?x?y??x?y?1?x?y??x?y?cos?2sinsin??③,由②得④,???????223225????????x?yx?y3152④除以③得tan??,因此sin(x?y)???.

x?y25171?tan222tan

3.点A在y?kx上,点B在y??kx上,其中k?0,OA?OB?k?1,且A,B在y轴同侧.

(1)求AB中点M的轨迹C;

(2)曲线C与抛物线x?2py(p?0)相切,求证:切点分别在两条定直线上,并求切线方程.

2解析:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则y1?kx1,y2??kx2,由OA?OB?k?1得

22(x1?x2)2(x1?x2)2x?x2y?yx?xx1x2?1,??1,,y?12?k12,即又x?1于是M的

44222

y2轨迹方程为x?2?1,于是AB中点M的轨迹C的焦点为?k2?1,0,实轴长为2

k2??的双曲线.

y2222(2)将x?2py(p?0)与x?2?1联立得y?2pky?k?0,曲线C与抛物线相切,

k22故

??4p2k4?4k2?0,又因为

p,k?0,所以

pk?1,且

y?pk2?k,x??2pk??2,因此两切点分别在定直线x?2,x??2上,两切点为D(2,k),E(?2,k),Qy??x,于是在D(2,k)处的切线方程分别为py?221(x?2)?k,即y?x?, ppp221(x?2)?k,即y??x?. ppp在E(?2,k)D(2,k)处的切线方程分别为y??4.7个红球,8个黑球,一次取出4个.

(1)求恰有一个红球的概率;

(2)取出黑球的个数为X,求X的分布列和期望(EX); (3)取出4个球同色,求全为黑色的概率.

13C7C856解析:(1)恰有一个红球的概率为; ?4C15195431C7C7C540(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,P(X?0)?4?,,P(X?1)?48?C15195C151952213C7C8C7C856C841084, P(X?2)?4?,P(X?3)?4?,P(X?4)?4?C15195C15195C15195即X的分别列为 X P 0 1 2 3 4 540845610 19519519519519554084561032?1??2??3??4??所以EX?0?. 19519519519519515832?(事实上由超几何分布期望公式可以直接得出期望为EX?4?,无需繁杂计算) 1515C842(3)取出4个球色,全为黑色的概率为44?.

C7C83

2011年 - 2013“北约”、“华约”自主招生数学试题 - 图文

2012年华约数学参考答案一、选择题ACBCAB略DDC二、解答题11解:(1)C=2/3∏;(2)cos2A?cos2B=3/412解:AP?BP?2PH2(1)设P(x,y),则H(0,y),由得(x?2,y)?(x-2,y)?2x2,即y2-x2?4(2)令CD:x?my?2(m?0)代入y?x?4
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