8．AB过抛物线y2?4x焦点F的弦，O为坐标原点，且?OFA?135o，C为抛物线准线与x轴的交点，则?ACB的正切值为 （A）22 【答案】A
9．如图，已知△ABC的面积为2，D，E分别为边AB，边AC上的点，F为线段DE上一点，设
ADAEDF?x,?y,?z，且y?z?x?1，则△BDF面积的最大值为 ABACDEA 810（A） （B）
2727D F 1416E （C） （D） 2727（B）
42 5（C）
42 3（D）
22 3【答案】D
B C 10．将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则
（A）存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形 （B）存在某种分法，所分出的三角形恰有2个是锐角三角形 （C）存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形 （D）任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形 【答案】
二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11．（本小题满分14分） 已知△ABC不是直角三角形。
（I）证明：tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC； （II）若3tanC?1?求cosA?C的值。 2tanB?tanC，且sin2A,sin2B,sin2C的倒数成等差数列，
tanA
12．（本小题满分14分）
已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）。质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处。
（Ⅰ）若b?2a，求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； （Ⅱ）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？
13．（本小题满分14分） 已知函数f(x)?2x，f(1)?1，fax?b1?1?2???，令x1?，xn?1?f(xn)。 2?2?3（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式； （Ⅱ）证明：x1x2???xn?1。 2e
14．（本小题满分14分）
x2y2已知双曲线C:2?2?1（a?0,b?0），F1，F2分别为C的左、右焦点，P为C右
ab支上一点，且使?F1PF2?（Ⅰ）求C的离心率e；
?3，又△F1PF2的面积为33a2。
（Ⅱ）设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数?(??0)，使得?QF2A???QAF2恒成立。若存在，求出?的值；若不存在，请说明理由。
15．（本小题满分14分）
将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面的概率。 （Ⅰ）求p1,p2,p3和p4；
（Ⅱ）探究数列{pn}的递推公式，并给出证明；
（Ⅲ）讨论数列{pn}的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。 解答：
（1）p1?1，p2?1，p3?，p4?781331181，p5?，p6?，p7?，。。。 16416128（Ⅱ）
①如果第n次出现反面，那么前n次不出现连续3次正面和前n?1次不出现连续3次正面是等价的，所以这个时候不出现连续3次正面的概率是pn?1；
②如果第n次出现正面，第n?1次出现反面，那么前n次不出现连续3次正面和前n?2次不出现连续3次正面是等价的，所以这个时候不出现连续3次正面的概率是
1pn?2； 412
③如果第n次出现正面，第n?1次出现正面，第n?2次出现反面，那么前n次不出现连续3次正面和前n?2次不出现连续3次正面是等价的，所以这个时候不出现连续3次正面的概率是pn?3。
④如果第n次出现正面，第n?1次出现正面，第n?2次出现正面，那么已经出现连续3次正面，所以不需要考虑。
综上，有pn?pn?1?pn?2?pn?3（n?3）。其中p0?1，p1?1，p2?1。
我们先定义几个函数：
f(n)：将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，至少有连续3次相同，总共有f(n)种情况。 g(n)：将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，至多连续2次相同（可以有不同的连续2次相同），且最后2次连续相同，总共有g(n)种情况。
h(n)：将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，至多连续2次相同（可以有不同的连续2次相同），且最后2次不相同，总共有h(n)种情况。 显然，下面的等式成立： f(n)+g(n)+h(n)=2^n f(n)=2f(n-1)+g(n-1) g(n)=h(n-1) 化简得：
g(n+1)=g(n)+g(n-1)
这个著名数列就不再啰嗦了 最后由g(n)求得f(n)
当然，最后的结果是f(n)/2,因为连续正与连续负的情况是相等的
181214182012年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）
数学部分
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
（1）在锐角?ABC中，已知A＞B＞C,则cosB的取值范围为（ ）
??12??2?2?(A) ?0,??? (B) ?2,2?? (C) ?0,1? (D) ??2,1?? 2??????（2）红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（ ） (A) 36种 (B) 60种 (C) 90种 (D)120种 （3）正四棱锥S?ABCD中，侧棱与底面所成角为?，侧面与底面所成二面角为?，侧棱
相邻两侧面所成二面角为?， 则SB与底面正方形ABCD的对角线AC所成角为?，
?,?,?,?之间的大小关系是（ ）
(A)
?＜?＜?＜? (B) ?＜?＜?＜? (C) ?＜?＜?＜? (D)
?＜?＜?＜?
（4）向量a?e，e?1。若?t?R，a?te?a?e则（ ）
(A) a?e (B) a?(a?e) (C) e?(a?e) (D) (a?e)?(a?e)
（5）若复数
w?11的实部为0，Z是复平面上对应的点，则点Z?x,y?的轨迹是( ) w?11?w22(A) 一条直线 (B) 一条线段 (C) 一个圆 (D)一段圆弧
（6）椭圆长轴长为4，左顶点在圆(x?4)??y?1??4上，左准线为y轴，则此椭圆离
心率的取值范围是（ ）
(A) ?,? (B) ?,? (C) ?,? (D) ?,?84428224?11????11????11????13???
（7）已知三棱锥S?ABC的底面ABC为正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是
二面角H?AB?C为30°，且SA?2，则此三棱锥的体积为（ ） ?SBC的垂心，
(A)
（8）如图，在锐角?ABC中，AB边上的高CE与AC边上的高BD交于点H。以DE为
直径作圆与AC的另一个交点为G。已知BC?25，BD?20，BE?7，则AG的长为（ ）
8 (B) (C)10 (D)
55 (A)
（9）已知数列?an?的通项公式为an?lg(1?则limSn?（ ）
n??3313 (B) (C) (D)
242442542)，n?1,2,???。Sn是数列的前n项和。2n?3n(A) 0 (B) lg3 (C) lg2 (D) lg3 2（10）已知?6?xi?10(i?1,2,???10),?xi?110i2?50，当?xi取得最大值时，在x1,x2,???x10i?110
这十个数中等于?6的数共有（ ）
(A) 1个 (B) 2个 (C)3个 (D) 4个 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （11）(本小题满分14分)
在?ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c。已知2sin2① 求C的大小
② 若c?2b?2a，求cos2A?cos2B的值
（12）(本小题满分14分)
222A?B?1?cos2C 2uuuruuuruuur2已知两点A??2,0?,B?2,0?，动点P在y轴上的射影是H，且PA?PB?2PH
① 求动点P的轨迹C的方程
② 已知过点B的直线交曲线C于x轴下方不同的两点M,N，设MN的中点为R，
过R于点Q?0,?2?作直线RQ，求直线RQ斜率的取值范围。
（13）(本小题满分14分)
1)，各个元件正常工作的事件相互独系统中每个元件正常工作的概率都是p(0＜p＜立，如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作。系统正常工作的概
率称为系统的可靠性。
（1） 某系统配置有2k?1个元件，k为正整数，求该系统正常工作概率的表达式 （2） 现为改善（1）中系统的性能，拟增加两个元件。试讨论增加两个元件后，能
否提高系统的可靠性。
(14) (本小题满分14分)
x2xn?????,n?1,2???证明：记函数fn(x)?1?x?当n是偶数时，方程fn(x)?0没2!n!有实根；当n是奇数时，方程fn(x)?0有唯一的实根?n，
且?n＞?n?2。
(15) (本小题满分14分)
某乒乓球培训班共有n位学员，在班内双打训练赛期间，每两名学员都作为搭档恰好参加过一场双打比赛。试确定n的所有可能值并分别给出对应的一种安排比赛的方案。
2011年 - 2013“北约”、“华约”自主招生数学试题 - 图文
