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2011年 - 2013“北约”、“华约”自主招生数学试题 - 图文

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2011年“北约”13校联考自主招生数学试题

2012年北约自主招生数学试题

1、求x的取值范围使得f(x)?x?2?x?x?1是增函数;

2、求x?11?6x?2?

3、已知(x?2x?m)(x?2x?n)?0的4个根组成首项为

4、如果锐角?ABC的外接圆的圆心为O,求O到三角形三边的距离之比;

5、已知点A(?2,0),B(2,0),若点C是圆x2?2x?y2?0上的动点,求?ABC面积的最小值。 6、在1,2,?,2012中取一组数,使得任意两数之和不能被其差整除,最多能取多少个数?

7、求使得sin4xsin2x?sinxsin3x?a在[0,?)有唯一解的a; 8、求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形;

9、求证:对于任意的正整数n,(1?

22x?27?10x?2?1的实数根的个数;

1的等差数列,求m?n; 42)n必可表示成s?s?1的形式,其中s?N?

2012年自主招生北约联考数学试题解答

2013年北约自主招生数学试题解析

1.以2和1?32为两根的有理系数多项式的次数最小是多少?

23解析:显然,多项式f(x)?(x?2)??(1?x)?2??的系数均为有理数,且有两根分别为2和1?32.于是知,以2和1?32为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于5. 若存在一个次数不超过4的有理系数多项式g(x)?ax?bx?cx?dx?e,其两根分别为

432

2和1?32,其中a,b,c,d,e不全为0,则:

g????4a?2c?e?0 2?(4a?2c?e)?(2b?d)2?0???2b?d?0g1?32??(7a?b?c?d?e)?(2a?3b?2c?d)32?(6a?3b?c)34?0

??7a?b?c?d?e?0 ???2a?3b?2c?d?0?4a?2c?e?0?2b?d?0??即方程组:?7a?b?c?d?e?0?2a?3b?2c?d?0???6a?3b?c?0(1)(2)(3),有非0有理数解. (4)(5)由(1)+(3)得:11a?b?c?d?0 (6) 由(6)+(2)得:11a?3b?c?0 (7) 由(6)+(4)得:13a?4b?3c?0 (8) 由(7)?(5)得:a?0,代入(7)、(8)得:b?c?0,代入(1)、(2)知:d?e?0.于是知a?b?c?d?e?0,与a,b,c,d,e不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式g(x),其两根分别为2和1?32.

综上所述知,以2和1?32为两根的有理系数多项式的次数最小为5.

2.在6?6的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆车,每辆车占一格,共有几种停放方法?

解析:先从6行中选取3行停放红色车,有C6种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择;最上面一行的红色车位置选定后,中间一行的红色车位置有5种选择;上面两行的红色车位置选定后,最下面一行的红色车位置有4种选择。三辆红色车的位置选定后,黑色车的位置有3!=6种选择。所以共有C6?6?5?4?6?14400种停放汽车的方法.

3.已知x?2y?5,y?2x?5,求x?2xy?y的值. 解析:根据条件知:

22322333x3?2x2y2?y3?x(2y?5)?2(2y?5)(2x?5)?y(2x?5)?15x?15y?4xy?50

由x?2y?5,y?2x?5两式相减得(x?y)(x?y)?2y?2x故y?x或x?y??2

2①若x?y则x?2x?5,解得x?1?6.于是知x?y?1?6或x?y?1?6.

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2011年 - 2013“北约”、“华约”自主招生数学试题 - 图文

2011年“北约”13校联考自主招生数学试题2012年北约自主招生数学试题1、求x的取值范围使得f(x)?x?2?x?x?1是增函数;2、求x?11?6x?2?3、已知(x?2x?m)(x?2x?n)?0的4个根组成首项为4、如果锐角?ABC的外接圆的圆心为O,求O到三角形三边的
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