2011年“北约”13校联考自主招生数学试题
2012年北约自主招生数学试题
1、求x的取值范围使得f(x)?x?2?x?x?1是增函数；
2、求x?11?6x?2?
3、已知(x?2x?m)(x?2x?n)?0的4个根组成首项为
4、如果锐角?ABC的外接圆的圆心为O，求O到三角形三边的距离之比；
5、已知点A(?2,0),B(2,0)，若点C是圆x2?2x?y2?0上的动点，求?ABC面积的最小值。 6、在1,2,?,2012中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？
7、求使得sin4xsin2x?sinxsin3x?a在[0,?)有唯一解的a； 8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；
9、求证：对于任意的正整数n，(1?
22x?27?10x?2?1的实数根的个数；
1的等差数列，求m?n； 42)n必可表示成s?s?1的形式，其中s?N?
2012年自主招生北约联考数学试题解答
2013年北约自主招生数学试题解析
1．以2和1?32为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？
23解析：显然，多项式f(x)?(x?2)??(1?x)?2??的系数均为有理数，且有两根分别为2和1?32.于是知，以2和1?32为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于5. 若存在一个次数不超过4的有理系数多项式g(x)?ax?bx?cx?dx?e，其两根分别为
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2和1?32，其中a,b,c,d,e不全为0，则：
g????4a?2c?e?0 2?(4a?2c?e)?(2b?d)2?0???2b?d?0g1?32??(7a?b?c?d?e)?(2a?3b?2c?d)32?(6a?3b?c)34?0
??7a?b?c?d?e?0 ???2a?3b?2c?d?0?4a?2c?e?0?2b?d?0??即方程组：?7a?b?c?d?e?0?2a?3b?2c?d?0???6a?3b?c?0(1)(2)(3)，有非0有理数解. (4)(5)由（1）+（3）得：11a?b?c?d?0 （6） 由（6）+（2）得：11a?3b?c?0 （7） 由（6）+（4）得：13a?4b?3c?0 （8） 由（7）?（5）得：a?0，代入（7）、（8）得：b?c?0，代入（1）、（2）知：d?e?0.于是知a?b?c?d?e?0，与a,b,c,d,e不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式g(x)，其两根分别为2和1?32.
综上所述知，以2和1?32为两根的有理系数多项式的次数最小为5.
2．在6?6的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？
解析：先从6行中选取3行停放红色车，有C6种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。所以共有C6?6?5?4?6?14400种停放汽车的方法.
3．已知x?2y?5,y?2x?5，求x?2xy?y的值. 解析：根据条件知：
22322333x3?2x2y2?y3?x(2y?5)?2(2y?5)(2x?5)?y(2x?5)?15x?15y?4xy?50
由x?2y?5,y?2x?5两式相减得(x?y)(x?y)?2y?2x故y?x或x?y??2
2①若x?y则x?2x?5，解得x?1?6.于是知x?y?1?6或x?y?1?6.
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