(理)第3讲 立体几何中的向量方法
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空间向量在立体几何中的应用主要体现在利用空间向量解决立体几何中的位置关系、空间角以及空间距离的计算等问题，是每年高考的必考内容，并且以解答题的形式出现，其考查形式为一题多问，多步设问，通常第一问考查空间位置关系，第二、三问考查空间角或距离，难度中等．利用空间向量求空间角仍是重点，对于探索点或线满足所给关系的问题要引起重视．
[真题体验]
(2019·全国Ⅰ卷)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，
AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． (1)证明：MN∥平面C1DE； (2)求二面角A－MA1－N的正弦值．
证明：(1)连B1C，ME，则ME1
又DN＝A1D
2而A1D∴ME
B1C ND.
1
BC， 21
∴四边形MNDE为平行四边形， ∴MN∥DE 又MN?平面C1DE， DE?平面C1DE ∴MN∥平面C1DE.
(2)取AB的中点F，连接DF， 由已知，DF⊥DC，DF⊥D1D.
以D为坐标原点，DF，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
∵AA1＝4，AB＝2. ∴A1(3，－1,4)， M(3，1,2)，N?
31?，－，2，
2??2
→
则A1M＝(0,2，－2)， 31→
A1N＝?－，，－2?.
?22?
设平面MA1N的法向量为m＝(x，y，z)， →→
则m⊥A1M，m⊥A1N
2y－2z＝0，??∴?令y＝1， 31??－2x＋2y－2z＝0，
得平面MA1N的一个法向量为m＝(－3，1,1)． 又平面AMA1的一个法向量为n＝(1,0,0)， 设二面角A－MA1－N的平面角为θ，则 m·n－315cos θ＝＝＝－. |m|·|n|55∴sin θ＝
10
. 5
10. 5
[主干整合]
1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则
(1)线面平行
l∥α?a⊥μ?a·μ＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (2)线面垂直
l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2. (3)面面平行
α∥β?μ∥v?μ＝λv?a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3. (4)面面垂直
α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.
2．直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．
(1)线线夹角
π
0≤θ≤?，则 设l，m的夹角为θ?2??|a1a2＋b1b2＋c1c2||a·b|
cos θ＝＝2. 2 a2＋b2＋c2|a||b|a1＋b2＋c11222(2)线面夹角
即二面角A－MA1－N的正弦值为
π
0≤θ≤?，则 设直线l与平面α的夹角为θ?2??|a·μ|
sin θ＝＝|cos〈a，μ〉|.
|a||μ|(3)面面夹角
设平面α，β的夹角为θ(0≤θ＜π)． 则|cos θ|＝
|μ·v|
＝|cos〈μ，v〉|. |μ||v|
热点一 利用向量法证明平行与垂直
数学 建模 素养 [例1] 数学建模——用向量解决空间立体几何中的核心素养 以学习过的空间向量为基础，通过将几何向量化，以向量作为刻画空间中点、线、面位置关系的连接点，解决空间几何中难解决的问题.
(2019·沈阳三模)如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别是PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.
(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE； (2)证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE. [证明]
(1)如图，连接OP，∵PA＝PC，∴OP⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，∴OP⊥平面ABC.以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0，－8，0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4，0,3)．
由题意，得G(0,4,0)．
→→
因为OB＝(8,0,0)，OE＝(0，－4,3)， 所以平面BOE的法向量n＝(0,3,4)．
→→由FG＝(－4,4，－3)，得n·FG＝0.又直线FG不在平面BOE内， 所以FG∥平面BOE.
(2)设点M的坐标为(x0，y0,0)， →
则FM＝(x0－4，y0，－3)． 因为FM⊥平面BOE，
9→
所以FM∥n，因此x0＝4，y0＝－，
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4，－，0?. 即点M的坐标是?4??
2020届高考数学二轮教师用书：层级二 专题四 (理)第3讲 立体几何中的向量方法
