《高等数学AI》试题参考答案
开卷（ ） 闭卷（√） 学期：2017-2024-1 适用专业、年级：2017级工学类专业 一、判断题(每小题2分 ,共10分. 正确的在括号内用“√”标记,错误的在括号内用“×”标记)
1、×；2、×；3、√；4、√；5、√
二、选择题(每小题3分 ,共30分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项的字母填在题后的括号内)
1、C；2、C；3、C；4、C；5、B ；6、C；7、A；8、A；9、D；10、B 三、计算题(每题10分 ,共40分)
?1. 解：limx?0x201?t2sintdtx41?x4sinx2?2x?lim 3x?04x
1?x4?x2?2x?lim 3x?04x 1?x41?lim? x?022
12e2xex?xx?x?1?earctane?e2. 解：y??
21?e2x1?(ex)2 ??e?x?xarctanex
x?xexy????(?earctane?e)
1?e2x1 2x1?e
1?1y??|?(e?xarctanex?)?? |x?01?e2xx?042
xxxx3. 解：?xsindx??2?xd(cos)??2xcos?2?cosdx
2 222 xxx??2xcos?4?cosd()222
xx??2xcos?4sin?C22
?e?xarctanex?4. 解：令F(x,y,z)?z?e?2xy?3
z
则 Fx|(1,2,0)?2y|(1,2,0)?4
??Fy|(1,2,0)?2x|(1,2,0)?2 ?Fz|(1,2,0)?1?ez|(1,2,0)?0
故切平面方程为4(x?1)?2(y?2)?0?(z?0)?0 即2x?y?4?0
x?1y?2z?0?? 420x?1y?2z?0??即 210
法线方程为四、证明题(8分)
证明：取函数f(x)?(1?x)ln(1?x)?arctanx 则 f(x)??ln(1?x)?1?1
1?x2当x?0时，f(x)??0 则 f(x)在区间(0,??)内单调增加，即 f(x)?f(0)
所以有(1?x)ln(1?x)?arctanx?0 ，亦即
arctanx?ln(1?x)
1?x五、应用题(12分)
解：(1) D的面积为：A??ab??ae?a?a，
令A???e(1?a)?0 ，则a?1
A??|a?1???e?a(2?a)|a?1???e?1?0
所以a?1时，D面积最大 (2) 当a?1时，椭圆方程为：x?ey?1，y??22211?x2 e
V???[(?111111?x2?1)2?(?1?x2?1)2]dx ee
44?2?22???1?xdx?????
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