高二数学基础复习
5、等差数列的前n项和
等差数列的前n项和公式 (1)等差数列的前n项和公式
已知量 求和公式 首项、末项与项数 n?a1＋an?Sn＝ 2首项、公差与项数 n?n－1?Sn＝na1＋d 2(2)等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 n?n－1?dda1－?n. 将等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d整理成关于n的函数可得Sn＝n2＋?2??22[基础自测]
1．判断正误
(1)公差为零的等差数列不能应用等差数列前n项和公式求和．( ) (2)数列{n2}可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和．( )
(3)若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n＋1，则数列{an}一定不是等差数列．( )
[解析] (1)不正确，不管公差是不是零，都可应用公式求和；(2)不正确，因为数列{n2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式求和；(3)正确．
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝－2，则前n项和S10＝( )
A．－20 B．－40 C．－60 D．－80
1
D [由等差数列前n项和公式，S10＝10×1＋×10×9×(－2)＝－80.]
23．已知等差数列{an}中，a1＝2，a17＝8，则S17＝________.
1
[解析] S17＝×17×(2＋8)＝85.
2[答案] 85
4．已知等差数列{an}中，a1＝1，S8＝64，则d＝________.
1
[解析] S8＝8×1＋×8×7×d＝64，解得d＝2.
2[答案] 2
5．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为( )
A．－24 C．3
B．－3 D．8
解析：选A 设等差数列{an}的公差为d， 因为a2，a3，a6成等比数列，所以a2a6＝a23， 即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2.
1
4、等差数列及其性质
高二数学基础复习
又a1＝1，所以d2＋2d＝0. 又d≠0，则d＝－2，
6×5
所以{an}前6项的和S6＝6×1＋×(－2)＝－24.
2
1
6．在等差数列{an}中，an>0，a7＝a4＋4，Sn为数列{an}的前n项和，则S19＝________.
2
11
解析：设等差数列{an}的公差为d，由a7＝a4＋4，得a1＋6d＝(a1＋3d)＋4，即a1＋9d＝8，所以a10＝8，
2219?a1＋a19?
因此S19＝＝19×a10＝19×8＝152.
2
答案：152
7．(2018·兰州诊断考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a8＋a10＝28，则S9＝( )
A．36 C．144
B．72 D．288
解析：选B 法一：∵a8＋a10＝2a1＋16d＝28，a1＝2， 9×833
∴d＝，∴S9＝9×2＋×＝72.
222法二：∵a8＋a10＝2a9＝28，∴a9＝14， 9?a1＋a9?∴S9＝＝72.
2
8．(2018·安徽两校阶段性测试)若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2＋S3＝4，a3＋S5＝12，则a4＋S7的值是( )
A．20 C．24
B．36 D．72
解析：选C 由a2＋S3＝4及a3＋S5＝12，
???4a1＋4d＝4，?a1＝0，
得?解得? ???6a1＋12d＝12，?d＝1，
∴a4＋S7＝8a1＋24d＝24.
9．(2016·北京高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.
解析：∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0. ∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2. 6×?6－1?∴S6＝6a1＋d＝6×6－30＝6.
2答案：6
2
4、等差数列及其性质
高二数学基础复习
题型一 与Sn有关的基本量的运算 例1 已知等差数列{an}中，
31
(1)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n和a12；
22(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求公差d； (3)a1＝6，a3＋a5＝0，求S6.
3n?n－1??1?[解] (1)因为Sn＝n·＋·?－2?＝－15， 22整理得n2－7n－60＝0. 解得n＝12或n＝－5(舍去)． 13
－?＝－4. 所以a12＝＋(12－1)×??2?2n?a1＋an?n?1－512?
(2)由Sn＝＝＝－1 022，
22解得n＝4.
又由an＝a1＋(n－1)d，
即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171.
(3)由a3＋a5＝2a4＝0，得a4＝0，a4－a1＝3d＝－6，d＝－2. 故S6＝6a1＋15d＝6×6＋15×(－2)＝6. [规律方法] 等差数列中基本量计算的两个技巧：
(1)利用基本量求值.等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.
(2)利用等差数列的性质解题.等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，n
常与求和公式Sn＝[跟踪训练] 1．等差数列中：
(1)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn； (2)an＝8n＋2，d＝5，求S20； 1
(3)d＝，n＝37，Sn＝629，求a1及an.
3
[解] (1)由an＝a1＋(n－1)d且a1＝105，d＝7， 得994＝105＋(n－1)×7，解得n＝128， n?a1＋an?128×?105＋994?∴Sn＝＝＝70 336.
22
3
4、等差数列及其性质
a1＋an
结合使用. 2
等差数列的前n项和及其性质教案
