第三章 变量之间的关系 知识点梳理及典型例题
知识回顾——复习
路程、速度、时间之间的关系： ， ， ；
知识点一 常量与变量
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为 .数值始终不变的量
为 ；
在某一变化过程中，如果有两个变量x和y，当其中一个变量x在一定范围内取一个数值时，另一个变量y也有唯一一个数值与其对应，那么，通常把前一个变量x叫做 ，后一个变量y叫做自变量的 ；
注意：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如：s=60t，速度60千米/时是 ，时间t和里程s为变量.t是 ，s是 。
知识点二 用表格表示变量之间的关系
表示两个变量之间的关系的表格，一般第一行表示自变量，第二行表示因变量； 借助表格，可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。
注意：用表格可以表示两个变量之间的关系时，能准确地指出几组自变量和因变量的值，但不能全面地反映两个变量之间的关系，只能反映其中的一部分，从数据中获取两个变量关系的信息，找出变化规律是解题的关键.
知识点三 用关系式表示两个变量之间的关系
例如，正方形的边长为x，面积为y，则
这个关系式就是表示两个变量
之间的对应关系，其中x是 ，y是 ；一般地，含有两个未知数（变量）的等式就是表示这两个变量的关系式；
【温馨提示】（1）写关系式的关键是写出一个含有自变量和因变量的等式，将表示因变量的字母单独写在等号的左边，右边是用自变量表示因变量的代数式（.2）自变量的取值必须使式子有意义，实际问题还要有实际意义.（3）实际问题中，有的变量关系不一定能用关系式表示出来.
【方法技巧】列关系式的关键是记住一些常见图形的相关公式和弄清两个变量间的量的关系.根据关系式求值实质上是求代数式的值或解方程.
知识点四 用图象表示两个变量间的关系
图象法就是用图象来表示两个变量之间的关系的方法；在用图象法表示变量之
间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴）上的点表示 ，用竖直方向的数轴（纵轴）上的点表示 ，用坐标来表示每对自变量和因变量的对应值所在位置；
【温馨提示】图象法能直观、形象地描述两个变量之间的关系，但只是反映两个变量之间的关系的一部分，而不是整体，且由图象确定的数值往往是近似的.
【方法技巧】（1）借助图象，过某点分别向横轴、纵轴作垂线可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值.（2）借助图象可判断因变量的变化趋势：图象自左向右是上升的，则说明因变量随着自变量的增大而增大，图象自左向右是上升下降的，则说明因变量随着自变量的增大而增大减小，图象自左向右是与横轴平行的，则说明因变量在自变量的增大的过程中保持不变.
知识点五 变量之间的关系的表示方法比较
表示变量之间的关系，可以用 、 和 ；其中表格法一目了然，使用方便，但列出的数值有限，不容易看出因变量与自变量的变化规律；关系式法简单明了，能准确反映出整个变化过程中因变量与自变量之间的相互关系，但是求对应值时，要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来；图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间的变化趋势和某些性质，是研究变量性质的好工具，其不足是由图象法往往难以得到准确的对应值；
专题一 能从表格中获取两个变量之间关系的信息
1．有一个水箱，它的容积是500 L，现要将水箱注满，下面是注水的情况表
温度（℃） -5 0 10 5 10.005 10 10.01 15 10.015
专题二 根据表格确定自变量、因变量及变化规律
3．七年级（1）班第一小组的同学星期天去郊外爬山，得到如下数据： （1）在这个注水过程长度（cm） 9.995 中，反映的是两个变量
与 之间的关系，其中变量 是自变量，变量 是因变量； （2）这个水箱原有水 L； （3） min时水箱注满水； （4）由表中的数据可以看出，水箱的注水过程是均匀的，那么平均每分钟注水 L. 2．一根合金棒在不同的温度下，其长度也不同，合金棒的长度和温度之间有如下关系： 爬坡长度x/m 30 50 80 100 150 200 （1）上表反映了温度与长爬坡时间y/min 2 3.7 6.5 9 14 20 度两个变量之间的关系，其中 自变量， 是因变量. （2）当温度是10 ℃时，合金棒的长度是 cm． （3）如果合金棒的长度大于10.05 cm小于10.15 cm，根据表中的数据推测，此时的温度应在 ℃～ ℃的范围内． （4）当温度为-20 ℃和100 ℃，合金棒的长度分别为 cm和 cm． 时 间（ s ） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 速度（m/s） 0 0.3 1.3 2.8 4.9 7.6 11.0 14.1 18.4 24.2 28.9
（1）当爬到100 m时，所花的时间是多少？ （2）当爬到每增加10 m时，所花的时间相同吗？
（3）从表中数据的变化中，你能得到什么变化趋势？
4．一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒之间的速度经测量如下表：
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个变量是自变量？哪个变量是因变量？ （2） 如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么？ （3） 当t每增加1 s时，v的变化情况相同吗？在哪一秒钟,v的增加量最大？ 注水时间（4） 若在高速公路/min 0 5 10 15 20 25 30 上小汽车行驶速度的上限为注水量/L 20253035404550120 km/h，0 0 0 0 0 0 0 试估计还需几秒这辆小汽车的速度就达到这个上限? 专题三 用关系式表示两个变量之间的关系 5．某水果批发市场香蕉的价格如下表：
购买香蕉数 x（千克） x≤20 20
（1）上午10时的温度是 度，14时的温度是 度； （2）这一天最高温度是 度，是在 时达到的；最低温度是 度，是在 时达到的； （3）这一天从最低温度到最高温度经过了 小时；
（4）温度上升的时间范围为 ，温度下降的时间范围为 ；
（5）你预测次日凌晨1时的温度是 ．
10．如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面
四种底面积相同的容器中.
（1）请分别找出与各容器对应的水的高度h和时间t的变化关系的图象，用直线段连接起来；
（2）当容器中的水恰好达到一半高度时，请在关系图的t轴上标出此时t值对应点T的位置．
专题六 折线型图象
11.如图，表现了一辆汽车在行驶途中的速度随时间的变化情况． （1）A、B两点分别表示汽车是什么状态？ （2）请你分段描写汽车在第0分钟到第19分钟的行驶状况．
（3）司机休息5分钟后
继续上路，加速1分钟后开始以60 km/h的速度匀速行驶，5分钟后减速，用了2分钟汽车停止，请在原图上画出这段时间内汽车的速度与时间的关系图．
第三章 变量之间的关系复习题
所挂物体的质量/千克 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 1．一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度就会发生变化，实验数据如下表：
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？
(3)如果此时弹簧最大挂重量为15千克，你能预测当挂重为10千克时，弹簧的长度是多少？
2．如图：将边长为20cm的正方形纸片的四个角截去相同的小正方形，然后将截好的材料围成一个无盖的长方体。
(1) 这个情境反映了哪两个变量之间的关系？其中自变量是什么？因变量是什么？(2)在以上问
x/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 题中，若设截y/cm3 去的小正方
形的边长是xcm，围成的无盖长方体的体积是ycm3,则y与x之间的关系式是
__________________；
(3)若小正方形的边长是5cm，那么长方体的体积是多少cm3？当x=2.5cm体积是多少cm3
(4)根据以上关系式填下表：
(5)当x在什么范围变化时，y随x的增大而增大，当x在什么范围变化时，y随x的增大而减小？你又是根据哪种表示法得到的？
(6)请你估计x取何值时，制成的无盖长方体的体积最大？
3．小红与小兰从学校出发到距学校5千米的书店买书，下图反应了他们两人离开学校的路程与时间的关系。根据图形尝试解决你们提出的问题。 （1）小红与小兰谁先出发？谁实线---小兰 先达到？
s/千米 虚线---小红 （2）描述小兰离学校的路程与时间的变化关系。
5 4 （3）小兰前20分钟的速度和3 最后10分钟的速度是多少？2 1 怎样从图像上直观地反映速度0
10
20
30
40
50
60
的大小？
t/分钟
（4）小红与小兰从学校到书店的平均速度各是多少？
北师大版七年级(下册)数学第三章变量间的关系知识点梳理与典型例题
