数列的求和
一、 教学目标：1.熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；
2 .能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算; 3 .熟记一些常用的数列的和的公式.
二、 教学重点：特殊数列求和的方法. 三、 教学过程：
（一）主要知识： 1. 直接法：即直接用等等比数列的求和公式求和。
差、
（1）等差数列的求和公式:
S ^^^ 呼
2 2
d
[n ajq =1）
（2）等比数列的求和公式 Sn ? a1（1 -qn
）（q对）（切记：公比含字母时一定要讨论）
I 1—q
n
2.
公式法： Z k2
=12+22+ 3讪l+n *1伸门
k 4
2
心+十冒
3. 错位相减法：比如 {an 等差，仁 比，求a1b1 +a2b2 十\+ anbn的和.
4. 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
见拆项公式
1 1
= ------ — --------------
n(n+1) n n+1
1
-------------------- — I ---------- -- -------
) nM = (n+1)!-n! (2n —1)(2n+1) 2 2n —1 2n+1
5. 分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求 和。
6. 合并求和法：如求1002 —992 +982 —972 +…+22 —12的和。
7. 倒序相加法： & 其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等
（二） 主要方法：
1. 求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式; 2. 求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3. 转化思想的运用； （三） 例题分析：
例
1?求和：① sn =1+11+111+…+1X^1 n个
1 1
2 ② Sn =(x+—)+(X2+—)2 +…+(X+丄n)2
n
X X
x
)
③求数列1, 3+4, 5+6+7, 7+8+9+10,…前n项和Sn
思路分析：通过分组，直接用公式求和。
+ 2) 2 n n + 2
n(n
1
解：① ak =1^1 =1 +10+102 +…+ 10 =-(10 -1)
k
k
k
个
9
12n q 二勺仆。一1+10-1屮…+10 -1)H[(10 +1tf
9 9
1 1
② Sn =(x2 +p+ 2) +(x4
+2) + …+ (x2n
X X
= (x2 +x4 +…+X2n) +(4r +—+??? + 1
2n X X R+
(1)当 X H±1 时，= 2
X -1
(2)当 X = ±1 时,Sn =4n
)()(
屮??+10Vn] J?10—1)
9
fJ—-
81
0910
xMT+2xU+2n =(r(x2：+1) + 2n
X (x -1)
③ ak =(2k -1) +2k +(2k +1) + …+[(2k -1) +(k -1)]
=
k[(2k
一書 一
(3k2)]
5-3k
k2
Sn = 31 +a2 +…+an
=l+
(122
2
…讣
l+i+W
(12n
2
n(n +1)(2 n +1)
2
3 n(n +1) JnE +1)(5n -2) 6
总结：运用等比数列前 2.
n项和公式时，要注意公比 q = 1或q H1讨论。
错位相减法求和
例2.已知数列1,3a,5a2,…，（2n-，求前n项和。 思路分析：已知数列各项是等差数列 和。
解：Sn =1+3a +5a2 +…+(2n- 1)an^ (1) aSn = a+ 3a2 +5a3+…+(2n- 1)an (2)
1, 3, 5,…2n-1与等比数列a0,a,a2,…，an」对应项积，可用错位相减法求
(1 )-(2 ): (1 -a)Sn =1 +2a +2a2 +2a3 +…+2an^ -(2n - 1)a
n
_ , . n 4
、 /丄
fc
_!_＞、□ ＞、 n-
当 a 时,(1-a)Sn =1
+却上斗)-(2 n- 1)n
(1—a)
=
f
Sn |1+a —(2 n+1)a +(2 n —1)a (1-a)
2
当a =1时,Sn =n2
3. 裂项相消法求和
例3.求和Sn=Z
1 3
+…+
(2n)
2
(2n -1)(2n+1)
思路分析：分式求和可用裂项相消法求和 解:ak =」^
2k
------ ------ = (2k -1)(2k +1)
Sn =a1 *2 i +
1 1 1 1 十刑1)
(2k) —1+1 = 1 +
(2k -1)(2k +1) (2k -1)(2k +1)1
2
一
1 1 1
)](1
1
7 — = 2n + 1 2n+1
2n(n +1)
n(n +1) +…+
(a=1)
八
a(a -1) -n(a -1) n
2
a (a—1) 4.倒序相加法求
和
例 4 求证：c + 3Cn +5C +…+(2n + 1)Cn = (n+ 1)2n 思路分析：由Cnm 可用倒序相加法求和。 证：令 8n -C： +3cn +5C +…+(2n +1)C
则 Sn = (2n +1)CX2n -1)Cr…+5C +3C；
n /
(aHl)
：：
：：
：；
-Cn = Cn
/.
⑴ +(2)有:28^(2n +2)C：十(2n +2)4 +(2n +22； +…+(2n +2)C：
；
/. Sn =(n + 1)[Cn +C1 + Cj +…+ C] = (n +1) ^2n 等式成立
5.其它求和方法
还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求
和。
例 5.已知数列 Ianlan=-2[ n—(―1)n],求 Sn。
思路分析：an = -2n -2(-1)n，通过分组，对 n分奇偶讨论求和。 解：an=—2 n+ 2(—1)n，若 n=2m,则 8^ 82^ -2(1 +2+ 3+…+2m ) + 2
2m
艺(―1)
k
kd：
& = —2(1+2 +3 屮\+2m) = -(2m +1)2m = -n(n +1)
若 n =2m-1,则Sn ^Szmj =S2m -a2m =-2m+1)2m+ 2[2m-(—1)2m] =-(2m + 1)2m + 2(2m-1)
(
=Ym2 +2m-2 = -(n +1)2 +(n +1) -2 = -n2 -n -2
_ r-n(n+1) (n为正偶数
Sn i-n2-n-2 (n为正奇数
预备：已知f(x^a1x +a2X2+…+ anxn,且a1, a2, a3 2 1
又f (1) = n , f (-1) = n ,试比较f (―)与3的大小。
2
) )
an成等差数列，n为正偶数,
解：J f (1) =6 七2 七3 +…+an = n2 牛 lf(-1) h—d +a2 — a3 中…-a^
(a^LaJn _2 ”
~n . Jd +an =2n 2
Qn …ld=2 2
=2n — 1
f(x) =x +3x2 +5x3 +…+(2n - 1)x
n
1111 1
fqU+SqJ%)+…+(2 n—1)(m
3
n
数列的求和,涵盖所有高中数列求和的方法。
