三角函数高考题及练习题（含答案）
1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质．
2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)．
3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等．
π
1. 函数y＝2sin2?x－?－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)
4??
函数．
答案：π 奇
π
解析：y＝－cos?2x－?＝－sin2x.
2??
2. 函数f(x)＝lgx－sinx的零点个数为________． 答案：3
解析：在(0，＋∞)内作出函数y＝lgx、y＝sinx的图象，即可得到答案．
ππ
3. 函数y＝2sin(3x＋φ)，?|φ|
122??
π答案： 4
ππππ
解析：由已知可得3×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z.因为|φ|<，所12242
π以φ＝.
4
π
4. 若f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间?0，?上的最大值是2，则ω＝________．
3??
3答案： 4
πωπππ
解析：由0≤x≤，得0≤ωx≤<，则f(x)在?0，?上单调递增，且在这个区间
3333??
ωπωππωππ3
上的最大值是2，所以2sin＝2，且0<<，所以＝，解得ω＝. 333344
题型二 三角函数定义及应用问题
例1 设函数f(θ)＝3sinθ＋cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.
13
(1) 若点P的坐标是?，?，求f(θ)的值；
?22??x＋y≥1，
?
(2) 若点P(x，y)为平面区域?x≤1，
??y≤1
上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求
函数f(θ)的最小值和最大值．
解：(1) 根据三角函数定义得sinθ＝
31
，cosθ＝，∴ f(θ)＝2.(本题也可以根据定义22
π
及角的范围得角θ＝，从而求出 f(θ)＝2)．
3
ππ
(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤，又f(θ)＝3sinθ＋cosθ＝2sin?θ＋?，
26??
π
∴ 当θ＝0，f(θ)min＝1；当θ＝，f(θ)max＝2.
3
(注： 注意条件，使用三角函数的定义， 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y＝Asin(ωx＋φ)的形式)
如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别
225
与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为、.求：
105
(1) tan(α＋β)的值； (2) α＋2β的值．
π225
解：由题意得cos α＝，cos β＝，α、β∈?0，?，所以sin α＝1－cos2α
1052??
725＝，sin β＝1－cos2β＝， 105
1
因此tan α＝7，tan β＝.
2
17＋2tanα＋tanβ
(1) tan(α＋β)＝＝＝－3.
11－tanαtanβ
1－7×2
1－3＋2
(2) tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝－1.
1
1－（－3）×
2
3π3π
又α＋2β∈?0，?，所以α＋2β＝. 42??
题型二 三角函数的图象与解析式问题
例2 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示． (1) 求f(0)的值；
π
(2) 若0<φ<π，求函数f(x)在区间?0，?上的取值范围．
3??
解：(1)由题图可知A＝2，
7π3πT7πππ
∵ ＝－＝，∴ ω＝2.又2×＋φ＝2kπ＋，
41234122
π
∴ φ＝2kπ＋(k∈Z)，
3
π6
∴ f(0)＝2sin?2kπ＋?＝.
3?2?
πππππ
(2) φ＝，f(x)＝2sin?2x＋?.因为0≤x≤，所以≤2x＋≤π，所以
33333??π
0≤sin?2x＋?≤1，即f(x)的取值范围为[0，2]．
3??
(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)
已知函数f(x)＝Asin ωx＋Bcos ωx(A、B、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且1
当x＝时，f(x)max＝2.
3
(1) 求f(x)的解析式；
2123?(2) 在闭区间??4，4?上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．
2π
解：(1) 因为f(x)＝A2＋B2sin(ωx＋φ)，由它的最小正周期为2，知＝2，ω＝π.
ω
ππ11
又当x＝时，f(x)max＝2，知π＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)＝
3326
ππ
2sin?πx＋2kπ＋?＝2sin?πx＋?(k∈Z)．
6?6???
π
故f(x)的解析式为f(x)＝2sin?πx＋?.
6??
(2) 当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称
ππ1211235965
轴，令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝k＋(k∈Z)，由≤k＋≤，解得≤k≤.
6234341212
2123?16，上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝. 又k∈Z，知k＝5，由此可知在闭区间??44?3
题型三 三角函数的性质与图象的移动问题
例3 把函数f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0)，
17π
所得函数的图象关于直线x＝对称．
8
(1) 求m的最小值；
17π15π?(2) 证明：当x∈?－时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为，－88??
负数；
(3) 设x1，x2∈(0，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝1，求x1＋x2的值．
1－cos2x1＋cos2x
(1) 解：f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x＝－sin2x＋3·＝cos2x－sin2x
22
π
＋2＝2cos?2x＋?＋2.
4??
π
因为将f(x)的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0)，得到g(x)＝2?2（x＋m）＋?＋2
4??
17π
的图象，又g(x)的图象关于直线x＝对称，
8
π（2k－9）17π
所以2?π(k∈Z)． ＋m?＋4＝kπ，即m＝4?8?
π
因为m>0，所以m的最小值为.
4
π7π17π15π?(2) 证明：因为x∈?－，所以－4π<2x＋<－，所以f(x)在，－4288??
?－17π，－15π?上是减函数．所以当x1、x2∈?－17π，－15π?，且x1 88?88??? f（x1）－f（x2） f(x1)>f(x2)，从而经过任意两点(x1，f(x1))和(x2，f(x2))的直线的斜率k＝<0. x1－x2 π2 (3) 解：令f(x)＝1，所以cos?2x＋?＝－. 24?? ππ9π 因为x∈(0，π)，所以2x＋∈?，?. 4?44?π3ππ5πππ 所以2x＋＝或2x＋＝，即x＝或x＝. 444442 ππ3π 因为x1、x2∈(0，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝1，所以x1＋x2＝＋＝ 424 已知函数f(x)＝2sinωx，其中常数ω>0. π2π (1) 若y＝f(x)在?－，?上单调递增，求ω的取值范围； 3??4 π (2) 令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函 6 数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a ππ－ω≥－42 解：(1) 因为ω>0，根据题意有 2ππω≤32 3 0<ω≤. 4 πππ (2) f(x)＝2sin2x，g(x)＝2sin2?x＋?＋1＝2sin?2x＋?＋1，g(x)＝0sin?2x＋?＝－ 6?3?3???? ππ2π17 x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z, 即g(x)的零点相邻间隔依次为和，故若y＝231233 2ππ43π g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×＋15×＝. 333 ? ?? 已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx π ＋φ)(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为. 2 π (1) 求f??的值； ?8? π (2) 将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x) 6 的单调递减区间． 31 解：(1) f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2?sin（ωx＋φ）－cos（ωx＋φ）?＝ 2?2? π 2sin?ωx＋φ－?.因为f(x)为偶函数，所以对x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立， 6?? ππ 因此sin?－ωx＋φ－?＝sin?ωx＋φ－?， 6?6??? ππππ 即－sinωxcos?φ－?＋cosωxsin?φ－?＝sinωxcos(φ－)＋cosωxsin?φ－?， 66?6?6???? π 整理得sinωxcos?φ－?＝0.因为ω＞0，且x∈R， 6?? πππ 所以cos?φ－?＝0.又0＜φ＜π，故φ－＝. 626?? 2πππ 所以f(x)＝2sin?ωx＋?＝2cosωx.由题意得＝2×，所以ω＝2，故f(x)＝2cos2x， 22??ω ππ 因此f??＝2cos＝2. 4?8? πππ (2) 将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f?x－?的图象，所以g(x)＝f?x－?＝ 66?6??? ππππ 2cos?2?x－??＝2cos?2x－?.当2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，即kπ＋≤x≤kπ＋ 366??3???? 2ππ2π (k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为?kπ＋，kπ＋?(k∈Z)． 363??题型四 三角函数图象及性质、三角公式综合运用 π 例4 已知函数f(x)＝2sin2?＋x?－3cos2x－1，x∈R. ?4? (1) 求f(x)的最小正周期； π (2) 若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点?－，0?对称，且t∈(0，π)，求t的值； ?6? ππ (3) 当x∈?，?时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围． ?42? ππ 解：(1)因为f(x)＝－cos?＋2x?－3cos2x＝2sin?2x－?，故f(x)的最小正周期为π. 3??2?? ππππ (2) h(x)＝2sin?2x＋2t－?.令2×?－?＋2t－＝kπ(k∈Z)，又t∈(0，π)，故t＝ 333???6?5π或. 6 ππ2πππ (3) 当x∈?，?时，2x－∈?，?， 3?63??42? ∴ f(x)∈[1，2]．又|f(x)－m|＜3，即f(x)－3＜m＜f(x)＋3， ∴ 2－3＜m＜1＋3，即－1＜m＜4. π 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x＝时，f(x) 12 7 取得最大值3；当x＝π时，f(x)取得最小值－3. 12 (1) 求函数f(x)的解析式； (2) 求函数f(x)的单调递减区间； ππ (3) 若x∈?－，?时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m有两个零点，求实数m的取值范围． ?36?2ππ7 解：(1) 由题意，A＝3，T＝2?π－?＝π，ω＝＝2. T12??12 πππ 由2×＋φ＝＋2kπ得φ＝＋2kπ，k∈Z. 1223 ππ 又 －π<φ<π，∴ φ＝，∴ f(x)＝3sin?2x＋?. 33?? ππ3ππ7ππ (2) 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，得＋2kπ≤2x≤＋2kπ，即＋kπ≤x≤ 2326612 7π ＋kπ，k∈Z. 12 π7π ∴ 函数f(x)的单调递减区间为?＋kπ，＋kπ?，k∈Z. 12?12? πm－1?ππ?(3) 由题意知，方程sin?2x＋?＝在－，上有两个根． 63???36?ππππ2π ∵ x∈?－，?，∴ 2x＋∈?－，?. 3?33??36?m－1?3∴ ∈－，1?，∴ m∈[1－33，7)． 6?2?
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