2016兰州石化职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)
考单招——上高职单招网www.danzhaowang.com 限时：20分钟 满分：28分
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1．(满分14分)已知f(x)＝2x－x2，g(x)＝logax(a>0且a≠1)．
2(1)过P(0,2)作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程；
(2)设h(x)＝f(x)－g(x)在定义域上为减函数，且其导函数y＝h′(x)存在零点，求实数a的值．
解：(1)∵f(0)＝0，∴P(0,2)不在曲线y＝f(x)上， 设切点为Q(x0，y0)，∵f′(x)＝2－x， x20
∴k＝f′(x0)＝2－x0，且y0＝f(x0)＝2x0－，
2x20
∴切线方程：y－2x0＋＝(2－x0)(x－x0)，
2x20
即y＝(2－x0)x＋，
2
∵(0,2)在切线上，代入可得x0＝±2. ∴切线方程为y＝2或y＝4x＋2.
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(2)∵h(x)＝2x－x2－logax在(0，＋∞)递减，
2∴h′(x)＝2－x－
1
≤0在x>0时恒成立， xln a
∵x>0，∴
1
≥2x－x2在x>0时恒成立． ln a
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≥1， ln a
∵x>0时，2x－x2∈(－∞，1]，∴∴0 考单招——上高职单招网www.danzhaowang.com 又∵h′(x)＝2－x－ 1 存在零点， xln a 即方程ln a·x2－2ln a·x＋1＝0有根， ∴Δ＝4ln2a－4ln a≥0，∴ln a≥1或ln a<0，② 由①②知ln a＝1，∴a＝e. 2．(满分14分)如图，已知抛物线C1：y2＝2px(p>0)， 圆C2与y轴相切，其圆心是抛物线C1的焦点，点M是抛物线C1的准线与x轴的交点．N是圆C2上的任意一点，且线段|MN|的长度的最大值为3，直线l过抛物线C1的焦点，与C1交于A，D两点，与C2交于B，C两点． (1)求C1与C2的方程； (2)是否存在直线l，使kOA＋kOB＋kOC＋kOD＝32，且|AB|，|BC|，|CD|依次成等差数列，若存在，求出所有满足条件的直线l；若不存在，说明理由． 3解：(1)当点N为圆C2与x轴不是坐标原点的另一交点时，|MN|的长度最大，为p， 23 ∴p＝3?p＝2. 2 ∴抛物线C1的方程为y2＝4x； 圆C2的方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设直线l的方程为my＝x－1，A(x1，y1)，D(x2，y2)，B(x3，y3)，C(x4，y4)． ?my＝x－1，由?2?y2－4my－4＝0， ?y＝4x， 22y1y2 ∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，x1x2＝＝1， 16 考单招——上高职单招网www.danzhaowang.com y1y2x2y1＋x1y2y1y2?y1＋y2? ∴kOA＋kOD＝＋＝＝ x1x2x1x24x1x2＝－4 m， ?my＝x－1， 由? ??x－1?2＋y2＝1， m x＝1＋，??1＋m解得?1 y＝，??1＋m 1 2 1 2 m x＝1－，??1＋m或?1 y＝－??1＋m 2 2 2 2 . ?1＋m，1??1－m，－1?∴B??，C??， 1＋m21＋m2?1＋m21＋m2??? y3y4x3y4＋x4y3 ∴kOB＋kOC＝＋＝＝－2m， x3x4x3x4∵kOA＋kOB＋kOC＋kOD＝32，∴－6m＝32， 22 ，此时直线l：－y＝x－1. 22 ∴m＝－ ??－2y＝x－1， 由?2得y2＋22y－4＝0， ??y2＝4x， |AD|＝1＋m2|y1－y2|＝6， |AB|＋|CD|＝2|BC|?|AD|＝3|BC|＝6， ∴|AB|，|BC|，|CD|成等差数列， ∴存在直线l，它的方程为2x＋y－2＝0. 考单招——上高职单招网www.danzhaowang.com (二) 限时：20分钟 满分：28分 x2y2 1．(满分14分)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的一个焦点是(1,0)，两个焦点与短轴 ab的一个端点构成等边三角形． (1)求椭圆C的方程； (2)过点P(4,0)且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为A1. ①求证：直线A1B过x轴上一定点，并求出此定点坐标； ②求△OA1B面积的取值范围． 解：(1)易得a＝2c，c＝1，则b＝3， x2y2 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 43 (2)①证明：不妨设直线方程为l：x＝my＋4， x2y2 代入＋＝1， 43 得(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有y1＋y2＝ －24m ，(*) 3m2＋4 36 y1y2＝2，(**) 3m＋4
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