中考数学人教版专题复习：平行四边形的性质与判定
考点 考纲要求 1. 理解平行四边形的性质与判定； 2. 掌握平行四边形的一些拓展性质并能运用到解题中； 3. 熟练掌握并应用中位线定理，能够证明中位线定理。 分值 考向预测 主要考查平行四边形的性质与判定，利用中位线定理进行计算，难度不大，但要注意在综合性问题中讨论利用已知点构成平行四边形的第四点坐标问题，这是经常作为压轴题常出的一类题型 平行四边形的 性质与判定 3～8分 考点精讲 1. 平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。（平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。平行四边形不是轴对称图形）
ABDC
平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次名称。在用字母表示四边形时，一定要按顺时针或逆时针方向注明各顶点，否则便是错误的。如：平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。 2. 平行四边形的性质：
（1）边：两组对边分别相等。(如图：AD=BC，AB=CD)
（2）角：两组对角分别相等。(如图：∠BAD=∠BCD， ∠ABC=∠ADC) （3）对角线：对角线互相平分。（如图；OA=OC，OB=OD）
AODCB
注意：三个性质都可以通过全等三角形来证明。
1
【规律总结】
平行四边形的性质常见的推论： ① 平行四边形的邻角互补。
② 夹在两条平行线间的平行线段相等。（如图：AB=CD）
③ 过平行四边形对角线交点的任意一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分。 S四边形ABFE=S四边形CDEF
AODCB
3. 平行四边形的判定：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（AB∥CD，AD∥BC，则ABCD是平行四边形）
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（AB=CD，AD=BC，则ABCD是平行四边形）
（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（∠BAD=∠BCD，∠ADC=∠ABC，则ABCD是平行四边形）
（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；（OA=OC，OD=OB，则ABCD是平行四边形）
（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（AB∥CD，AB=CD或AD=BC，AD∥BC，则ABCD是平行四边形）
DOABC
4. 三角形中位线：
（1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（要注意中位线与中线的区别）
2
（三角形中线） （三角形中位线）
（2）定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。
（证明图示）
【重要提示】
① 三角形三条中位线分三角形所成的四个三角形全等，每个三角形面积等于三角形面积的四分之一。
② 三角形三条中位线组成的三角形周长为原三角形周长的二分之一。
典型例题
例题1 （安徽）如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是 。（把所有正确
1结论的序号都填在横线上） ①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；
2④∠DFE=3∠AEF
思路分析：分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案。
答案：解：① ∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在□ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，
3
∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=故此选项正确；
1∠BCD，2② 延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，∠A＝∠FDM，AF＝DF，∠AFE＝∠DFM， ∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM，故此选项正确；
③ ∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC。故此选项错误； ④ 设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°-x，∴∠EFC=180°-2x， ∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，∵∠AEF=90°-x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确； 故答案为：①②④。
技巧点拨:此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DME是解题关键。
例题2 已知：如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是BC、AC、AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，A1C1，A1B1的中点，依此类推…，若△ABC的周长为1，则△AnBnCn的周长为 。
思路分析：由于A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、AC、AB的中点，就可以得出△A1B1C1
1的三条边分别是△ABC的中位线，所以△A1B1C1的周长是△ABC的，依此类推即可。
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答案：解：∵A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、AC、AB的中点，∴A1B1、A1C1、
1B1C1是△ABC的中位线，∴C?A1B1C1=C△ABC，∵A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1，A1C1，
2111A1B1的中点，∴C?2B2C2=C?1B1C1=C△ABC，依此类推：C?AnBnCn=nC△ABC,
242∵△ABC的周长为1，∴△AnBnCn的周长为
11，故答案为：。 nn22技巧点拨：本题考查了三角形中位线定理的运用，相似三角形的判定与性质的运用，解
题的关键是熟练运用相似三角形的性质。
例题3 如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC。
（1）求证：BE=AF；
（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积。
思路分析：（1）由DE∥AB，EF∥AC，可证得四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分线，易得△BDE是等腰三角形，即可证得结论； （2）首先过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，易求得DG与DE的长，继而求得答案.
答案：（1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，∴AF=DE，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBE，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴BE=AF；
（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，∵∠ABC=60°，BD
11是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠EBD=30°，∴DG=BD=×6=3，∵BE=DE，
22BH1∴BH=DH=BD=3，∴BE==23，∴DE=BE=23， ∴四边形ADEF的面积为：
cos30?2DE?DG=63。
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