2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语单元综合一课一练(含解析)新人教B版必修第一册

专题突破专练

专题1集合中子集个数问题

1.(2018·吉林长春二中检测)集合{1,2,3}的子集的个数是( )。 A.7 B.4 C.6 D.8 答案：D 2.(2019·山东济宁一中高一期中)满足条件{1,3}∪B={1,3,5}的所有集合B的个数是( )。 A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D

3.(2018·辽宁六校协作体高一下开学考试)满足条件{1,2,3}?M?{1,2,3,4,5,6}的集合M的个数是( )。 A.8 B.7 C.6 D.5 答案：B

解析：满足条件的集合M至少含有1,2,3这3个数,且是集合{1,2,3,4,5,6}的真子集,所以集合M={1,2,3}或M={1,2,3,4}或M={1,2,3,5}或M={1,2,3,6}或M={1,2,3,4,5}或M={1,2,3,4,6}或M={1,2,3,5,6},共7个。

2

4.(2018·河北衡水中学高一月考)若集合A={x|(k+2)x+2kx+1=0}有且仅有2个子集,则实数k= 。 答案：±2或-1

2

解析：∵集合A={x|(k+2)x+2kx+1=0}的子集只有两个,∴集合A中只有一个元素。当k+2=0,即k=-2时,方程(k+2)x+2kx+1=0等价于-4x+1=0,解得x=4。方程只有一解,满足题意。当k+2≠0,即k≠-2时,方程(k+2)x+2kx+1=0对应的判别式Δ=4k-4(k+2)=0,解得k=-1或k=2,此时满足条件。故k的值为±2或-1。

5.(2018·北大附中高二期末)若集合A满足x∈A,必有∈A,则称集合A为自倒关系集合,在

??1

2

2

2

1

集合M=-1,0,2,3,1,2,3,4的所有非空子集中,具有自倒关系的集合的个数为( )。 A.7 B.8 C.16 答案：D

D.15

1

1

1

11

解析：根据自倒关系集合的定义可知,当x=-1时, =-1;当x=0时,无意义;当x=1时,=1;

??

??

??

当x=2时,=;当x=3时,=;当x=4时,=不存在。所以2和,3和必须分别在一起,可以

??2

??3

??4

2

3

11111111

把它们看作一个元素,则{1},{2,},{3,},{-1}各自自身或并集为自倒关系集合,所以自倒

2

3

11

关系集合的个数为2-1=15。故选D。

【易错点拨】解决子集个数问题一定要弄清子集中一定含有几个元素及可能含有几个元素。 专题2空集的特殊性

6.(2019·宁阳四中高一期中)以下表示正确的是( )。 A.?=0 B.?={0}

C.?∈{0} D.??{0} 答案：D

7.(2018·大连高三上学期期末)下列六个关系式中正确的有( )。

4

①{a,b}={b,a};②{a,b}?{b,a};③?={?};④{0}=?;⑤??{0};⑥0∈{0}。 A.6个 B.5个

C.4个 D.3个及3个以下 答案：C

解析：其中①②⑤⑥是正确的,对于③应为??{?}或?∈{?};对于④应为{0}??。

2

8.(2019·北京汇文中学高一月考)已知集合A={x|x>0},B={x|x-x+m=0},若B?A,求实数m的取值范围。

答案：解:(1)当B=?时,Δ=1-4m<0?m>4。 ??=1-4??≥0,

(2)当B≠?时,B?A?{

??1??2=??>0,解得00。

41

1

解析：【易错点拨】注意空集是任意集合的子集,B?A,要考虑B为空集的情况。 9.(2019·河南郸城县一高高一月考)设

A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}。 (1)用列举法表示集合B,集合C;

2

答案：B={x|x-5x+6=0}={2,3},C={-4,2}。 (2)若A∩B=A∩C≠?,求a的值。

2

答案：A∩B=A∩C≠??2∈A,4-2a+a-19=0,解得a=-3或a=5,又当a=5时,A=B,则A∩B≠A∩C,不合题意,舍去,故a的值为-3。 专题3图示法的应用

10.已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥3},则图1-1中阴影部分所表示的集合为( )。

图1-1

A.{1} B.{1,2}

C.{1,2,3} D.{0,1,2} 答案：B

解析：由题意得A∩B={3,4,5},阴影部分所表示的集合为集合A去掉集合A∩B中的元素所组成的集合,所以图中阴影部分所表示的集合为{1,2}。

11.(2018·辽东县一中高一月考)如图1-2所示,I是全集,A,B,C是它的子集,则阴影部分所表示的集合是( )。

图1-2

A.(A∩B)∩C B.(A∩?IB)∩C C.(A∩B)∩?IC D.(?IB∪A)∩C 答案：B

解析：由图可得阴影部分所表示的集合为(A∩?IB)∩C。

12.图1-3中阴影部分所表示的集合是( )。

图1-3

A.B∩?U(A∪C) B.(A∪B)∪(B∪C) C.(A∪C)∩(?UB) D.?U(A∩C)∪B 答案：A

解析：题图中阴影部分位于集合B内,且位于集合A,C的外部,故可表示为B∩?U(A∪C)。 13.(2018·杭州四中高一检测)设I是全集,集合A,B,C都是其子集,则图1-4中的阴影部分表示的集合为( )。

图1-4

A.A∩B∩C B.(A∩B)∪C

C.(A∩B)∪(B∩C) D.A∪(B∩C) 答案：B

14.某校高中学生运动会,某班62名学生中有一半的学生没有参加比赛,参加比赛的学生中,参加田赛的有16人,参加径赛的有23人,则田赛和径赛都参加的学生人数为( )。 A.7 B.8 C.10 D.12 答案：B

解析：由题意可得参加比赛的学生共有31人,所以田赛和径赛都参加的学生人数为16+23-31=8。故选B。 专题4充要条件的证明

2

15.“x=1”是“x-2x+1=0”的( )。 A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A

222

解析：当x=1时,x-2x+1=0成立,故满足充分性;当x-2x+1=0时,(x-1)=0,x=1,故满足必要性,因此是充要条件,故选A。

16.设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A?C,B??UC”是“A∩B=?”的( )。 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 答案：C

解析：由A?C可得?UC??UA,当B??UC时,B??UA,则“A∩B=?”;反之,若“A∩B=?”也能推出“存在集合C,使得A?C,B??UC”,故“存在集合C,使得A?C,B??UC”是“A∩B=?”的充要条件。故选C。

17.设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )。

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 答案：C

2222

解析：(a-b)(a+b)=a-b=|a|-|b|。

22

若a>0,b≥0,则a>b?(a-b)(a+b)>0?|a|>|b|?a|a|>b|b|;

22

若a≤0,b<0,则a>b?(a-b)(a+b)<0?|a|<|b|?a|a|>b|b|; 若a≥0,b≤0,则a>b?a|a|>b|b|;反之也成立。 故答案为C。

2

18.“a<0”是“方程ax+1=0至少有一个负根”的( )。 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：C

解析：当a<0时,方程ax+1=0,即x=-,故此一元二次方程有一个正根和一个负根,符合题意;

??

2

2

1

当方程ax+1=0至少有一个负数根时,a不可以为0,从而x=-??,所以a<0。由上述推理可知,“a<0”是方程“ax+1=0至少有一个负数根”的充要条件,故选C。

222

19.证明:△ABC是等边三角形的充要条件是a+b+c=ab+bc+ac(其中a,b,c是△ABC的三条边)。

答案：证明:充分

222222222

性:∵a+b+c=ab+bc+ac,∴a+b+c-ab-bc-ac=0,∴(a-b)+(b-c)+(a-c)=0,∴a-b=0,b-c=0,a-c=0,即a=b=c,∴△ABC是等边三角形。 必要性:∵△ABC是等边三角

222222222222

形,∴a=b=c,∴a+b+c-ab-bc-ac=a+b+c-a-b-c=0,∴a+b+c=ab+bc+ac。综上所述,△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+bc+ac(其中a,b,c是△ABC的三条边)。

真题分类专练

题组1集合的交、并、补运算

1.(2018·天津卷文·T1)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=( )。

A.{-1,1} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{2,3,4} 答案：C

解析：由并集的定义可得A∪B={-1,0,1,2,3,4},结合交集的定义可知(A∪B)∩C={-1,0,1}。 2.(2019·天津卷·T1)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=( )。

A.{2} B.{2,3}

C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4} 答案：D

解析：因为A∩C={1,2},所以(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D。

3.(2018·浙江卷·T1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则?UA=( )。 A.? B.{1,3}

C.{2,4,5} D.{1,2,3,4,5}

2

22

1

答案：C

解析：因为全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},所以根据补集的定义得?UA={2,4,5},故选C。 4.(2019·浙江卷·T1)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则?UA∩B=( )。

A.{-1} B.{0,1}

C.{-1,2,3} D.{-1,0,1,3} 答案：A

解析：?UA={-1,3},则(?UA)∩B={-1}。

5.(2017·山东卷文·T1)设集合M={x||x-1|<1},N={x|x<2},则M∩N=( )。 A.(-1,1) B.(-1,2) C.(0,2) D.(1,2) 答案：C

解析：由|x-1|<1得00},则( )。 A.A∩B={??|??<3

2} B.A∩B=? C.A∪B={??|??<32} D.A∪B=R 答案：A

解析：由3-2x>0得x<3

3

3

2,所以A∩B={??|??<2}∩{??|??<2}={??|??<2},故选A。

7.(2018·天津卷·T1)设全集为R,集合A={x|0

解析：由题意可得?RB={x|x<1},结合交集的定义可得A∩(?RB)=(0,1)。

8.(2018·全国Ⅰ卷文·T1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( )。A.{0,2} B.{1,2}

C.{0} D.{-2,-1,0,1,2} 答案：A

解析：根据集合交集中元素的特征,可以求得A∩B={0,2},故选A。

9.(2018·全国Ⅲ卷文·T1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )。 A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2} 答案：C

解析：由集合A得x≥1,所以A∩B={1,2}。

10.(2018·全国Ⅱ卷文·T2)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )。A.{3} B.{5}

C.{3,5} D.{1,2,3,4,5,7} 答案：C

解析：∵A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},∴A∩B={3,5},故选C。

11.(2019·北京卷·T1)已知集合A={x|-11},则A∪B=( )。 A.(-1,1) B.(1,2) C.(-1,+∞) D.(1,+∞)

)。