2021年中考数学热点专题复习：含中线问题的辅助线作法
初中几何问题中有一类含有中线的题目，往往图形中找不到全等三角形，使不少同学感觉无法入手．此时只要适当作出辅助线，问题便可迎刃而解，这里举例分析，供同学们学习参考．
例1 已知△ABC中，AB＝5，AC＝9，AD是BC边上的中线，求线段AD的取值范围．
分析 一个三角形只知道两边的长度，这个三角形是不确定的，则它的第三边上的中线也随着变动，长度也不固定．我们作出一个示意图来帮助分析，如图1．
图形中显然没有全等的三角形．AB，AD，AC三线段也不构成三角形，不可用三角形的三边关系性质，作什么辅助线呢？
如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连CE．
∵AD是中线，∴BD＝DC， 又因为对顶角相等， 可得△ABD≌△ECD． ∴EC＝AB＝5．
此时对于△ACE，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质，得 4< AE<14． 而由作图知AD＝ ∴2 小结 中线延长相等后，必出现全等三角形．（连CE或连BE效果是一样的．） 例2 已知△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，AD＝，求△ABC的 第 1 页 共 3 页 1AE， 2 面积． 分析 与例1的思路一样，构造全等三角形△ACE．则有 CE＝4，AC＝6，AE＝2AD＝213． 因为42＋62＝（213）2，由勾股定理逆定理知，△ACE 是直角三角形． ∴∠ACE＝90°，S△ACE＝4×6÷2＝12， 则S△ABC＝S△ACE＝12． 注 以上都是将三角形的中线延长构造全等形，事实上，只要经过中点的线段，都可以延长到相等线段的位置，则必定得到两个三角形全等． 例3 如图4，已知△ABC中，D是BC边上的中点，ED⊥DF，连EF，求证：BE＋CF>EF． 分析 延长ED到G，使得DG＝DE，连CG，FG． 则△BED≌△CGD，∴BE＝CG， 这样BE变换到CC了． 又∵DG＝DE，FD⊥ED，∴FD是EG的中垂线，FE＝FC，这样FE又变换到FG了．此时CG，CF，FG是同一个三角形的三边，由两边之和大于第三边，得CG＋CF>FC， 即BE＋CF>EF，得证． 例4 如图5，梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，E点正好是DC中点．求证：(1)AD＋BC＝AB；(2)BE⊥AE． 分析 这种图形把AE和BC分别延长交于点F就行了，可以构造相等和全等． 第 2 页 共 3 页 证明 (l)分别延长AE和BC交于点F ∵AD∥BC，∴∠2＝∠F， ∠D＝∠FCE． ∵E点是DC中点，∴DE＝CE， ∴△AED≌△FEC， ∴AD＝CF，AE＝EF． ∵AE平分∠BAD，∴∠2＝∠l， ∴∠1＝∠F． 则B＝BF，△BAF是等腰三角形， ∴AD＋BC＝CF＋BC＝BF＝BA； (2)∵△BAF是等腰三角形，且AE＝EF， ∴BE⊥AE（等腰三角形三线合一）． 第 3 页 共 3 页
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