1133 ①丁二烯 和②维生素A分别为无色和橘黄色，如何用自由电子模型定性解释。 ①
②
CH2OH
已知丁二烯碳碳键长为1.35×10-10？nm(平均值)，维生素A中共轭体系的总长度为1.05？nm(实验值)。 1134 电子具有波动性，为什么电子显像管中电子却能正确地进行扫描？ (假设显像管中电子的加速电
压为1000？V)
1135 照射到1m2地球表面的太阳光子数很少超过每小时1mol，如果吸收光的波长?=400？nm，试问太
阳能发电机每小时每平方米从太阳获得最大能量是多少？如转化率为20%，试问对一个1000？MW的电站需要多大的采光面积？
1136 根据测不准关系，试说明具有动能为50？eV的电子通过周期为10-6？m的光栅能否产生衍射现
象？
1137 CO2激光器给出一功率为1kW、波长为10.6?m的红外光束，它每秒发射的光子是多少？若输出
1138 欲使电子射线与中子束产生的衍射环纹与Cu K?线(波长154？pm的单色X射线)产生的衍射环纹相
同，电子与中子的动能应各为多少？
1139 氯化钠晶体中有一些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子，可将这些电子看成是束缚于边长为
0.1？nm的方箱中。试计算室温下被这些电子吸收的电磁波的最大波长，并指出它在什么样的电磁波范围。
1140 已知有2n个碳原子相互共轭的直链共轭烯烃的?分子轨道能量可近似用一维势阱的能级公式表示
为 Ek=
的光子全被1dm3水所吸收，它将水温从 20°C升高到沸点需多少时间？
k2h28mr2(2n?1)2 k=1，2，…，2n
其中，m是电子质量，r是相邻碳原子之间的距离，k是能级序号。试证明它的电子光谱第一吸收带(即电子基态到第一激发态的激发跃迁)波长?与n成线性关系。假定一个粒子在台阶式势阱中运动，势阱宽度为l，而此台阶位于l/2～l之间， 1142
?0
和
?1
是线性谐振子的基态和第一激发态正交归一化的能量本征函数，令A
?0(x)+B
?1(x)
是某瞬时振子波函数，A，B是实数，证明波函数的平均值一般不为零。A和B取何值时，x的平均值最大和最小。
1144 (1) 计算动能为1eV的电子穿透高度为2？eV、宽度为1nm的势垒的概率； (2) 此种电子克服1eV势垒的经典概率为5×10-12，比较两种概率可得出什么结论？
1146 已知算符
?具有下列形式: A (2)
(1)
d2dx2d +x dx试求
?2算符的具体表达式。 A1147 已知
?是厄米算符，试证明A?－也是厄米算符(式中，是a的平均值，为实数)。 A1149 证明同一个厄米算符的、属于不同本征值的本征函数相互正交。
1150 证明厄米算符的本征值是实数。
1151 试证明本征函数的线性组合不一定是原算符的本征函数，并讨论在什么条下才能是原算符的本征
函数。
1152 设
?=∑c?n
n，其中
?n是算符
?属于本征值qn的本征函数，证明: Q =∑｜cn｜2 qn
1153 设
1154 下列算符是否可以对易: (1)
?i是
?的本征函数，相应的本征值为qi，试证明?i是算符Q?n属于本征值qin的本征函数。 Q? (2) ? 和 yx?x=p?? 和
?y?x (3)
?i·
??x 和y? ? (4) p 和x?x1155 已知
?和B?2也是厄米算符。 ?+B?是厄米算符，证明(A?)和AA?为两个线性算符，已知F?和G?1156 若F
?－G?F?G=1，证明:
?nF?n－G?G?F?=nGn?1
1157 对于立方箱中的粒子，考虑E < 15h2/(8ml2)的能量范围。 (1)在此范围内有多少个态？ (2)在此范围内有多少个能级？
1158 为了研究原子或分子的电离能，常用激发态He原子发射的波长为58.4？nm的光子： He(1s12p1)─→He(1s2)
(1)计算58.4？nm光的频率(单位:cm-1)； (2)光子的能量以ｅＶ为单位是多少？以Ｊ为单位是多少？
(3)氩原子的电离能是15.759？eV，用58.4？nm波长的光子打在氩原子上，逸出电子的动能是多大？
1160 链型共轭分子CH2CHCHCHCHCHCHCH2在长波方向460？nm处出现第一个强吸收峰，试按一维
势箱模型估算该分子的长度。
1159 由测不准关系??E=h/2? ，求线宽为：(1)0.1cm-1， (2)1cm-1， (3)100？MHz的态的寿命。
?2， ?，M1161 说明下列各函数是H 1163
?M
z三个算符中哪个的本征函数？
?2pz，
?2px 和
?2p1
1162 “波函数本身是连续的，由它推求的体系力学量也是连续的。”是否正确，为什么？
一子弹运动速率为300 m·s-1，假设其位置的不确定度为4.4×10 m ，速率不确定度为0.01%×300 m·s-1 ，根据测不准关系式，求该子弹的质量。 1164
-31
一维势箱中运动的一个粒子，其波函数为
2n?xsin，aaa为势箱的长度，试问当粒子处于n=1或
n=2的状态时，在0 ～a/4区间发现粒子的概率是否一样大，若不一样，n取几时更大一些，请通过计算说
明。 1165
2dcosθd????(?)的本征函数，若是，本征值是多少？ 5cosθ?3cosθ是否是算符F2dθsinθdθ32 1166
对在边长为L的三维立方箱中的11个电子，请画出其基态电子排布图，并指出多重态数目。 1167
对在二维方势箱中的9个电子，画出其基态电子排布图。 1168
下列休克尔分子轨道中哪个是归一化的？若不是归一化的，请给出归一化系数。（原子轨道
?1,?2,?3是已归一化的）
a.
ψ1?ψ2?12??1??2?
b. 1169
1??1?2?2??3? 4 将在三维空间中运动的粒子的波函数 积分公式 1170
将在区间[-a，a]运动的粒子的波函数 1171
ψ?e-r2a0归一化。
??0xne?axdx?n!an?1，a?0,n??1
ψ?K（K为常数）归一化。
将描述在三维空间运动的粒子的波函数
ψ?e-ra0归一化。
积分公式 1172
??0xne?axdx?n!an?1，a?0,n??1
运动在区间（-∞， ∞）的粒子，处于状态 1173
ψ?e?ax2，求动量Px的平均值。
一运动在区间（-∞， ∞）的粒子，处于波函数 1174
求由波函数 1175
ψ?coskx所描述的状态，求动量P的平均值。
xψ?e?kx所描述的、在区间（-∞， ∞）运动的粒子动量P的平均值。
x 将描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数 1176
将描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数
ψ?sin3θe3iφ归一化 。
ψ?sinθsinφ归一化 。
1177
将被束缚在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数 1178
写出动量Px的算符。 1179
证明：宇称算符的本征函数非奇即偶。 1180
考虑以下体系： (a)一个自由电子；
(b)在一维势箱中的8个电子。
哪个体系具有单基态？哪个体系具有多重基态？多重性如何？ 1181
边长为L=84 pm的一维势箱中的6个电子，计算其基态总能量。 1182
用波长2.790×10 pm和2.450×10 pm的光照射金属表面，当光电流被降到0时，电位值分别为0.66 V和1.26 V，试计算Planck常数。 1183
5
5
ψ?sin2θsin2φ归一化 。
若氢原子处于
ψ?2?200?2?211?3?321所描述的状态，求其能量平均值。（已知：?442及
） ψ都是归一化的，平均值用R表示。
1184
指出下列论述是哪个科学家的功绩：
(1)证明了光具有波粒二象性； (2)提出了实物微粒具有波粒二象性； (3)提出了微观粒子受测不准关系的限制；
(4)提出了实物微粒的运动规律-Schrodinger方程； (5)提出实物微粒波是物质波、概率波。
1185
cosθ是否是算符
1186
1dd(sinθ)的本征函数，若是，本征值是多少？
sinθdθdθ
结构化学第一章习题
