1043
7h2 在一立方势箱中，E?4ml2的能级数和状态数分别是(势箱宽度为l， 粒子质量为m)：
-----------------------------------------------------------------( )
(A) 5，11 (B) 6，17 (C) 6，6 (D) 5，14 (E) 6，14 1044
一个在边长为a的立方势箱中的氦原子，动能为
123mv=kT， 求对应于每个能量的 波函数中22能量量子数n值的表达式。 1045
（1） 一电子处于长lx=2l，ly=l的二维势箱中运动，其轨道能量表示式为
Enx,ny=__________________________；
h2（2） 若以
32ml2 1046
为单位，粗略画出最低五个能级，并标出对应的能量及量子数。
质量为 m 的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1) 体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2) 体系的本征值谱为____________________， 最低能量为____________ ； (3) 体系处于基态时， 粒子出现在0 ─ l/2间的概率为_______________ ； (4) 势箱越长， 其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ；
(5) 若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱中运动， 则其本征函数集为____________，本征值谱为 _______________________________。 1047
质量为m的粒子被局限在边长为a的立方箱中运动。波函数_________________________；当粒子处于状态
?211(x，y，z)=
?概率密度最大处坐标是_______________________；211时，
7h2若体系的能量为
4ma2
1048
， 其简并度是_______________。
3h2
在边长为a的正方体箱中运动的粒子，其能级E=
4ma2
______________。
27h2的简并度是_____，E'=
8ma2 的简并度是
1049 1050
“一维势箱中的粒子，势箱长度 为l， 基态时粒子出现在x=l/2处的概率密度最小。” 是否正确 ？
15h2 对于立方势箱中的粒子，考虑出E?8ma2 1051
一维线性谐振子的基态波函数是
将上式 1052
的能量范围， 求在此范围内有几个能级？ 在此范围内
有多少个状态？
?=Aexp[-Bx]，式中A为归一化常数，B=? (?k)
2
1/2/h， 势能是V=kx2/2。
?代入薛定谔方程求其能量E。
分子CH2CHCHCHCHCHCHCH2中的?电子可视为在长为8Rc-c的一维势箱中运动的自由粒子。分子的
最低激发能是多少？它从白色光中吸收什么颜色的光；它在白光中显示什么颜色？ (已知 Rc-c=140 pm) 1053
被束缚在0 一个电子处于宽度为10-14 m的一维势箱中， 试求其最低能级。当一个电子处于一个大小为10-14 m的 (已知电子质量me=9.109×10-31 kg， 4??0=1.113×10-10？J-1C2m， 电荷e=1.602×10-19？C) 1055 有人认为，中子是相距为10-13？cm的质子和电子依靠库仑力结合而成的。试用测不准关系判断该模型 是否合理。 1056 作为近似， 苯可以视为边长为0.28 nm的二维方势阱， 若把苯中?电子看作在此二维势阱中运动的粒 1059 。 。 质子核内时， 求其静电势能。对比上述两个数据，能得到什么结论？ 子， 试计算苯中成键电子从基态跃迁到第一激发态的波长。 函数 ? (x)= 2 2asin ?xa - 3 2asin 2?x 是不是一维势箱中粒子的一种可能状态？ 如果是， 其能a量有没有确定值(本征值)？ 如有， 其值是多少？ 如果没有确定值， 其平均值是多少？ 1060 在长为l的一维势箱中运动的粒子， 处于量子数为n的状态， 求： (1) 在箱的左端1/4区域内找到粒子的概率； (2) n为何值时， 上述概率最大？ (3) 当n→∞时， 此概率的极限是多少？ (4) (3)中说明了什么？ 1061 状态 ?111(x，y，z)= 8abc sin ?xa sin ?yb sin ?zc概率密度最大处的坐标是什么？ 状态 ? 1062 321(x，y，z)概率密度最大处的坐标又是什么？ 函数 1063 ?(x)= 2asin 2?x2 + 2aasin ?xa是否是一维势箱中的一个可能状态？ 试讨论其能量值。 根据驻波的条件， 导出一维势箱中粒子的能量。 1064 求下列体系基态的多重性(2S+1)。 (1) 二维方势箱中的9个电子； (2) lx=2a， ly=a 二维势箱中的10个电子； (3) 三维方势箱中的11个电子 。 1065 1066 在长度为100 pm的一维势箱中有一个电子， 问其从基态跃迁到第一激发态吸收的辐射波长是多少？ 在同样情况下13粒子吸收的波长是多少？ (已知me=9.109×10-31 kg ， m?=6.68×10-27？kg) 1067 试问一个处于二维势箱中的粒子第四个能级的简并度为多少？ 1068 (1) 写出一维简谐振子的薛定谔方程； (2) 处于最低能量状态的简谐振子的波函数是 试计算长度为a的一维势箱中的粒子从n=2跃迁到n=3的能级时， 德布罗意长的变化。 ?2 ?0= ()1/4 exp[-?2x2/2] ? 此处，?=(4?2k?/h2)1/4，试计算振子处在它的最低能级时的能量。 (3) 波函数 1069 ?在x取什么值时有最大值？ 计算最大值处?2 的数值。 假定一个电子在长度为300 pm的一维势阱中运动的基态能量为 4？eV。作为近似把氢原子的电子看 作是在一个边长为100 pm 的立方箱中运动。估计氢原子基态电子能量。 1070 一个质量为m的自由粒子， 被局限在x=-a/2到x=a/2之间的直线上运动，求其相应的波函数和能量(在 -a/2≤x≤a/2范围内，V=0)。 1071 已知一维势箱的长度为0.1 nm， 求： (1) n=1时箱中电子的de Broglie波长； (2) 电子从n=2向n=1跃迁时辐射电磁波的波长 ； (3) n=3时箱中电子的动能。 1072 (1) 写出一维势箱中粒子的能量表示式； (2) 由上述能量表示式出发， 求出px2的本征值谱(写出过程)； (3) 写出一维势箱中运动粒子的波函数 。 (4) 由上述波函数求力学量px的平均值、 px2的本征值谱。 1073 在0-a间运动的一维势箱中粒子，证明它在a/4≤x≤a/2区域内出现的概率 P=14 [ 1 + 2sin(n?/2)n? ]。 当n→∞时， 概率P怎样变？ 1074 设一维势箱的长度为l， 求处在n=2状态下的粒子， 出现在左端1/3箱内的概率。 1075 双原子分子的振动， 可近似看作是质量为?= m1m2m的一维谐振子， 其势能为V=kx2/2，1?m2定谔方程是_____________________________。 1076 试证明一维势箱中粒子的波函数 ?2n= asin( n?xa)不是动量算符p?x的本征函数。 另外， 一维箱中粒子的能量算符是否可以与动量算符交换？ 1077 它的薛 试证明三维势箱中粒子的平均位置为(a/2， b/2， c/2)。 1077 试证明三维势箱中粒子的平均位置为(a/2， b/2， c/2)。 1079 以 ?=exp[-?x]为变分函数， 式中?为变分参数， 试用变分法求一维谐振子的基态能量和波函数。 2 已知 1080 ??0x2nexp??x2dx???1?3? ??（?2n?1)?2n?1a2n?1 1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。欲使电子射线产生的衍射环纹与 Cu的K?线(波长为154 pm的单色X射线)产生的衍射环纹相同， 电子的能量应为___________________J。 1081 把苯分子看成边长为350 pm的二维四方势箱， 将6个?电子分配到最低可进入的能级， 计算能使电 子上升到第一激发态的辐射的波长， 把此结果和HMO法得到的值加以比较(?实验值为-75×103？J·mol-1)。 1082 写出一个被束缚在半径为a的圆周上运动的、质量为m的粒子的薛定谔方程，求其解。 1083 1084 微观体系的零点能是指____________________的能量。 1085 若用波函数 1086 1087 电子的运动状态是不是一定要用量子力学来描述？--------------- ( ) 一个以 1.5×106？m·s-1速率运动的电子，其相应的波长是多少？(电子质量为 9.1×10-31 kg) ?来定义电子云，则电子云即为___________________。 dd 和 i 哪个是自轭算符----------------------------------- ( ) dxdx
结构化学第一章习题
