?f(x)在x?0处可导?f(x)在x?0处连续?limf(x)?lim?f(x)?f(0) ?x?0x?0x?0?limf(x)?0,lim?f(x)?b?x?0?b?0?limf?(x)?limf?(x) x?0?x?0?ln(1?ax)?0?a x?0x?0x?02x?0?limf(x)?lim?2 x?0?x?0?x?0?a?2 limf?(x)?lim???x?t?1?22、求过点A(?1,2,1)且平行于2x?3y?z?7?0又与直线?y?t?3相交的直线方程。
?z?2t????直线过点A(?1,2,1)，因为直线平行于平面，所以S?n，n?(2,?3,1)， ??设两条直线的交点P(t?1,t?3,2t)，所以S?PA?(t,t?1,2t?1)， 所以2t?3t?3?2t?1?0，t?4，P(3,7,8)，所以PA?(4,5,7)， ?x?1y?2z?1??。 45713223、讨论f(x)?x?2x?3x?1极值和拐点 3132解析：f(x)?x?2x?3x?1 3所以直线方程为（1）f(x)的极值 f'(x)?x2?4x?3 令f'(x)?0，则x1?1,x2?3 列表如下：
x f'(x) f(x) （??，1） + 1 0 极大值 （1，3） - 3 0 极小值 （3，??） + ? ? ? 所以极大值为
f(1)?17?2?3?1?，极小值f(3)?1 33（2）f(x)的拐点
f??(x)?2x?4令f??(x)?0 则x?2
列表如下：
拐点为?2,?。
四、综合题（本大题共3大题，每小题10分，共30分） ?124、利用??(?1)nxn， 1?xn?0x f'(x) f(x) （??，2） - 凸 2 0 拐点 （2，??） + 凹 ??5?3?1?x)展开成x的幂级数 （1）将函数ln(（2）将函数ln(3?x)展开成x?2的幂级数 ?111?x)，f?(x)?解析：（1）令f(x)?ln(，当x?(?1,1)时，??(?1)nxn 1?x1?xn?0?f(x)??x0n?1?x?1nnnx f?(t)dt?f(0)??dt???(?1)tdt??(?1)01?t0n?1n?0n?0x当x??1时，级数发散；当x?1时，级数收敛，故收敛域为??1,1?。 （2）ln(3?x)?ln[5?(x?2)]?ln[5(1??nx?2x?2)]?ln5?ln(1?) 55n?1?1x?2n?1n(x?2) ?ln5??(?1)()?ln5??(?1)n?11?n55(n?1)n?0n?0其中，?1?x?2?1??3?x?7。 5，???上导函数连续，f(x)?0，已知曲线f(x)与直线x?1,x?t(t?1)及25、f(x)在?1x=1（t?1）及x轴所围成的去边梯形绕x轴所围成的旋转体体积是该曲边梯形的?t倍，
求f(x) 解析：S?由题意知，
?t1tf(x)dx，V???f2(x)dx
1ttt22，求导得，得?f(t)???f(x)dx??tf(t) ?f(x)dx??tf(x)dx??111再求导，得2?f(t)f?(t)??f(t)??f(t)??tf?(t)
即2f(t)?tf?(t)?2f(t)f?(t)，则2y?ty??2yy?，2y?(2y?t)y?，
11112y?tdt， ?2ydy??dydy123dt112y2?y(?edy?C)?(y2?C), ?t?1，P(y)?，Q(y)?1，t?edy2y2yy3由f(1)?f2(1)?f(1)?1，带入得C?11，故曲线方程为3x?2y?。 3y（a,f(a)）（b,f(b)）（c,f(c))(a?x?b)，26、f(x)在?a,b?连续且和的直线与曲线交于证
明： （1）存在f?(?1)?f?(?2) （2）在(a,b)存在f??(?)?0 解析： 解法一： （1）过(a,f(a)),(b,f(b))的直线方程可设为： y?f(c)?f(b)?f(a)(x?c) b?a所以可构造函数：F(x)?f(x)?x 所以F(a)?F(b)?F(c) 又因为f(x)在?a,c??c,b?连续可导的，则F(x)在?a,c??c,b?连续可导， 所以根据罗尔定理可得存在?1?(a,c),?2?(c,b),F?(?1)?F?(?2)?0, 使f??(?1)?f??(?2)。
（2）由（1）知f?(?1)?f?(?2)，又f(x)二阶可导，存在且连续，故由罗尔定理可知，
???(?1,?2)?(a,b)，使得f??(?)?0。
解法二：
（1）考虑f(x)在?a,c?及?c,b?上的格拉朗日中值定理有：
??1??a,c?，??2?(c,b)，有
f(c)?f(a)f(b)?f(c)?f?(?1)，?f?(?2)，
c?ab?c由于A(a,f(a)),B(b,f(b)),C(c,f(c))共线， 则有AC的斜率kAC?f(a)?f(c)f(b)?f(c)与BC的斜率kBC?相等，
a?cb?c于是有f?(?1)?f?(?2) （2）与解法一（2）做法一致。
2018浙江专升本高等数学真题
