第57讲 二项式定理
一、课程标准
1、能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．
2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.基础知识回顾
二、基础知识回顾
1. 二项式定理
n1n1b＋…＋Ckankbk＋…＋Cnbn(n∈N*) 公式：(a＋b)n＝C0na＋Cnann
－
－
这个公式表示的定理叫做二项式定理．在上式中右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数
knkkn
Ckb叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即Tk＋1＝Ckn(k＝0，1，…，n)叫做二项式系数，式中的Cnana
－k
－
bk．
2. 二项展开式形式上的特点 (1)项数为__n＋1__．
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按__降幂__排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按__升幂__排列，从第
一项起，次数由零逐项增1直到n.
1n1n
(4)二项式系数从__C0n__，Cn，一直到Cn，__Cn__．
－
3. “杨辉三角”与二项式系数的性质
(1)“杨辉三角”有如下规律：左右两边斜行都是1，其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．
n(2)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cmn＝__Cn
－m
__．
n＋1n＋1(3)增减性与最大值：二项式系数Ck时，二项式系数逐渐__增大__；当k＞时，二项式n，当k＜22系数逐渐__减小__．当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大．
1nn(4)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各项二项式系数之和为__2n__，即C0n＋Cn＋…＋Cn＝__2__. 213n1
(5)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C0__． n＋Cn＋…＝__Cn＋Cn＋…__＝__2
－
三、自主热身、归纳总结
1、(1＋2x)5的展开式中，x2的系数为( )
A. 10 B. 20 C. 25 D. 40
1
x＋?展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) 2、若??x?A. 6 B. 12 C. 20 D. 32
3、(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是( )
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n
m1
A. Cm n B. Cnm11C. Cn D. (－1)m1Cm n
－
－
－
＋
4、(多选)已知(3x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，设(3x－1)n的展开式的二项式系数之和为Sn，Tn＝a1＋a2＋…＋an，则( )
A．a0＝1 B．Tn＝2n－(－1)n
C．n为奇数时，Sn＜Tn；n为偶数时，Sn＞Tn D．Sn＝Tn
?3x－1?m15、(一题两空)若?的展开式中二项式系数之和为128，则m＝________，展开式中?3的系数是32xx??
________．
6、(2020·合肥模拟)(x－2)3(2x＋1)2的展开式中x的奇次项的系数之和为________．
1
x＋?n(n≥4，n∈N*)的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n＝________. 7、若??2x?四、例题选讲
考点一 二项展开式中特定项及系数问题 例1、（1）二项式?
x2?10
的展开式中，x项的系数是( )
?2－x?15B．－
2D．－15
15
A. 2C．15
1
2x－3?8的展开式中的常数项为________． （2）(2019·天津高考)?8x??
（3）(2019·浙江高考)在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．
?33?n
??的展开式中，第6项为常数项． x－变式1、已知在?3??x?
(1)求n；
(2)求含x2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
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变式2、求二项展开式中的特定项或指定项的系数 (1)在(x－1)4的展开式中，x的系数为________． (2)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________．
方法总结：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．
考点二、 二项式系数的和或各项系数的和的问题 例2、在(2x－3y)10的展开式中，求： (1) 二项式系数的和； (2) 各项系数的和； (3)
奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4) 奇数项系数和与偶数项系数和； (5) x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．
变式1、(1)(2020·合肥模拟)已知(ax＋b)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与－18，则(ax＋b)6的展开式中所有项系数之和为( )
A．－1 C．32
B．1 D．64
(2)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝( ) A．0
B．1
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C．32 D．－1
(3)在(1＋x)n(x∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝________. 变式2、对任意实数x，有(2x?3)═a0?a1?x?1??a2(x?1)?a3(x?1)?923?a9(x?1)9.则下列结论成
立的是（ ） A．a2??144 B．a0?1
C．a0?a1?a2???a9?1 D．a0?a1?a2?a3??a9??39
525变式3、（2020·深喀第二高级中学高二期末）已知?1?2x??a0?a1x?a2x?????a5x，则
a1?2a2?3a3?4a4?5a5?_______.
方法总结：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m (a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． 考点三 二项式定理的综合应用
2233kkk1010例3 (1)1－90C110＋90C10－90C10＋…＋(－1)90C10＋…＋90C10除以88的余数是____．
2i123320192019＝____． (2)设复数x＝(i是虚数单位)，则C2019x＋C22019x＋C2019x＋…＋C2019x1－i
变式1、（2020·江苏省南京师大附中高二）已知?1?x?2n?1?a0?a1x?a2x2??a2n?1x2n?1，n?N?．记
Tn???2k?1?an?k?．
k?0n（1）求T2的值；
（2）化简Tn的表达式，并证明：对任意n?N?的，Tn都能被4n?2整除．
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变式2、【陕西省黄陵中学高新部2017-2018学年高二下学期开学考试】(1)设
?3x?1?4?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4.
①求a0?a1?a2?a3?a4； ②求a0?a2?a4； ③求a1?a2?a3?a4；
12(2)求S?C27?C27?27?C27除以9的余数．
方法总结：整除问题，解决整除问题要点为：(1)观察除式与被除式间的关系；(2)将被除式拆成二项式；(3)结合二项式定理得出结论．此外二项式定理还可应用于不等式的证明．
五、优化提升与真题演练
1、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为（ ） A．12
B．16
C．20
D．24
2、【2020年高考北京】在(x?2)5的展开式中，x2的系数为（ ） A．?5 C．?10
B．5 D．10
y23、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】(x?)(x?y)5的展开式中x3y3的系数为（ ）
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第57讲 二项式定理(学生版) 备战2021年新高考数学微专题讲义
