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第57讲 二项式定理(学生版) 备战2021年新高考数学微专题讲义

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第57讲 二项式定理

一、课程标准

1、能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.

2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.基础知识回顾

二、基础知识回顾

1. 二项式定理

n1n1b+…+Ckankbk+…+Cnbn(n∈N*) 公式:(a+b)n=C0na+Cnann

这个公式表示的定理叫做二项式定理.在上式中右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,其中的系数

knkkn

Ckb叫做二项展开式的通项,用Tk+1表示,即Tk+1=Ckn(k=0,1,…,n)叫做二项式系数,式中的Cnana

-k

bk.

2. 二项展开式形式上的特点 (1)项数为__n+1__.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.

(3)字母a按__降幂__排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按__升幂__排列,从第

一项起,次数由零逐项增1直到n.

1n1n

(4)二项式系数从__C0n__,Cn,一直到Cn,__Cn__.

3. “杨辉三角”与二项式系数的性质

(1)“杨辉三角”有如下规律:左右两边斜行都是1,其余各数都等于它“肩上”两个数字之和.

n(2)对称性:在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即Cmn=__Cn

-m

__.

n+1n+1(3)增减性与最大值:二项式系数Ck时,二项式系数逐渐__增大__;当k>时,二项式n,当k<22系数逐渐__减小__.当n是偶数时,中间一项的二项式系数最大;当n是奇数时,中间两项的二项式系数最大.

1nn(4)各二项式系数的和:(a+b)n的展开式的各项二项式系数之和为__2n__,即C0n+Cn+…+Cn=__2__. 213n1

(5)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和,即C0__. n+Cn+…=__Cn+Cn+…__=__2

三、自主热身、归纳总结

1、(1+2x)5的展开式中,x2的系数为( )

A. 10 B. 20 C. 25 D. 40

1

x+?展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为( ) 2、若??x?A. 6 B. 12 C. 20 D. 32

3、(x-y)n的二项展开式中,第m项的系数是( )

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n

m1

A. Cm n B. Cnm11C. Cn D. (-1)m1Cm n

4、(多选)已知(3x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,设(3x-1)n的展开式的二项式系数之和为Sn,Tn=a1+a2+…+an,则( )

A.a0=1 B.Tn=2n-(-1)n

C.n为奇数时,Sn<Tn;n为偶数时,Sn>Tn D.Sn=Tn

?3x-1?m15、(一题两空)若?的展开式中二项式系数之和为128,则m=________,展开式中?3的系数是32xx??

________.

6、(2020·合肥模拟)(x-2)3(2x+1)2的展开式中x的奇次项的系数之和为________.

1

x+?n(n≥4,n∈N*)的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列,则n=________. 7、若??2x?四、例题选讲

考点一 二项展开式中特定项及系数问题 例1、(1)二项式?

x2?10

的展开式中,x项的系数是( )

?2-x?15B.-

2D.-15

15

A. 2C.15

1

2x-3?8的展开式中的常数项为________. (2)(2019·天津高考)?8x??

(3)(2019·浙江高考)在二项式(2+x)9的展开式中,常数项是________,系数为有理数的项的个数是________.

?33?n

??的展开式中,第6项为常数项. x-变式1、已知在?3??x?

(1)求n;

(2)求含x2项的系数; (3)求展开式中所有的有理项.

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变式2、求二项展开式中的特定项或指定项的系数 (1)在(x-1)4的展开式中,x的系数为________. (2)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为________.

方法总结:求二项展开式中的特定项,一般是利用通项公式进行,化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数r+1,代回通项公式即可.

考点二、 二项式系数的和或各项系数的和的问题 例2、在(2x-3y)10的展开式中,求: (1) 二项式系数的和; (2) 各项系数的和; (3)

奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;

(4) 奇数项系数和与偶数项系数和; (5) x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.

变式1、(1)(2020·合肥模拟)已知(ax+b)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与-18,则(ax+b)6的展开式中所有项系数之和为( )

A.-1 C.32

B.1 D.64

(2)若(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=( ) A.0

B.1

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C.32 D.-1

(3)在(1+x)n(x∈N*)的二项展开式中,若只有x5的系数最大,则n=________. 变式2、对任意实数x,有(2x?3)═a0?a1?x?1??a2(x?1)?a3(x?1)?923?a9(x?1)9.则下列结论成

立的是( ) A.a2??144 B.a0?1

C.a0?a1?a2???a9?1 D.a0?a1?a2?a3??a9??39

525变式3、(2020·深喀第二高级中学高二期末)已知?1?2x??a0?a1x?a2x?????a5x,则

a1?2a2?3a3?4a4?5a5?_______.

方法总结:“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m (a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n (a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可. 考点三 二项式定理的综合应用

2233kkk1010例3 (1)1-90C110+90C10-90C10+…+(-1)90C10+…+90C10除以88的余数是____.

2i123320192019=____. (2)设复数x=(i是虚数单位),则C2019x+C22019x+C2019x+…+C2019x1-i

变式1、(2020·江苏省南京师大附中高二)已知?1?x?2n?1?a0?a1x?a2x2??a2n?1x2n?1,n?N?.记

Tn???2k?1?an?k?.

k?0n(1)求T2的值;

(2)化简Tn的表达式,并证明:对任意n?N?的,Tn都能被4n?2整除.

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变式2、【陕西省黄陵中学高新部2017-2018学年高二下学期开学考试】(1)设

?3x?1?4?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4.

①求a0?a1?a2?a3?a4; ②求a0?a2?a4; ③求a1?a2?a3?a4;

12(2)求S?C27?C27?27?C27除以9的余数.

方法总结:整除问题,解决整除问题要点为:(1)观察除式与被除式间的关系;(2)将被除式拆成二项式;(3)结合二项式定理得出结论.此外二项式定理还可应用于不等式的证明.

五、优化提升与真题演练

1、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】(1+2x2 )(1+x)4的展开式中x3的系数为( ) A.12

B.16

C.20

D.24

2、【2020年高考北京】在(x?2)5的展开式中,x2的系数为( ) A.?5 C.?10

B.5 D.10

y23、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】(x?)(x?y)5的展开式中x3y3的系数为( )

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第57讲 二项式定理(学生版) 备战2021年新高考数学微专题讲义

第57讲二项式定理一、课程标准1、能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.基础知识回顾二、基础知识回顾1.二项式定理n1n1b+…+Ckankbk+…+Cnbn(n∈N*)公式:(a+b)n=C0na+Cnann
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