2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）
理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。 1．已知集合A=
A．3
)x?(x,y│
2?y2?1?，B=?(x,y│)y?x?，则AIB中元素的个数为
B．2
C．1
D．0
2．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=
A．
1 2 B．2 2 C．2
D．2
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x+
y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为
B．-40
C．40
D．80
A．-80
x2y25x,且与椭圆5．已知双曲线C：2?2?1 (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为y?2abx2y2??1有公共焦点，则C的方程为 123x2y2??1 A．
8106．设函数f(x)=cos(x+
x2y2??1 B．
45x2y2??1 C．54x2y2??1 D．43?)，则下列结论错误的是 3
B．y=f(x)的图像关于直线x=D．f(x)在(
A．f(x)的一个周期为?2π C．f(x+π)的一个零点为x=
8?对称 3? 6?,π)单调递减 27．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为
A．5 B．4 C．3 D．2
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A．π 9．等差数列
A．-24
B．
3π 4 C．
π 22
3
D．
π 4?an?的首项为1，公差不为0．若a，a，a
B．-3
C．3
6成等比数列，则
?an?前6项的和为
D．8
x2y210．已知椭圆C：2?2?1，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径
ab的圆与直线bx?ay?2ab?0相切，则C的离心率为
A．
6 3
2B．3 3x?1 C．
2 3 D．
1 311．已知函数f(x)?x?2x?a(eA．??e?x?1)有唯一零点，则a=
C．
1 2 B．
1 3
1 2 D．1
uuur12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP=?
uuuruuurAB+?AD，则?+?的最大值为
A．3
B．22
C．5
D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
?x?y?0?13．若x，y满足约束条件?x?y?2?0，则z?3x?4y的最小值为__________．
?y?0?14．设等比数列
?an?满足a + a = –1, a – a = –3，则a = ___________．
1
2
1
3
4
?x?1，x?0，115．设函数f(x)??x则满足f(x)?f(x?)?1的x的取值范围是_________。
2?2，x?0，16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都
垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最小值为60°；
其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每
个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3cosA=0，a=27,b=2． （1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD? AC,求△ABD的面积． 18．（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 天数 [10，15） 2 [15，20） 16 [20，25） 36 [25，30） 25 [30，35） 7 [35，40） 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 19．（12分）
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． （1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值． 20．（12分）
已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程． 21．（12分）
已知函数f(x) =x﹣1﹣alnx． （1）若f(x)?0 ，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，(1+111 )(1+2)K(1+n)﹤m，求m的最小值．
222（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
?x?2+t,在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为?（t为参数），直线l2的参数方程为
y?kt,??x??2?m,?．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C． （m为参数）m?y?,?k?（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)-2=0，M为l3与C的交点，求M的极径． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│． （1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2–x +m的解集非空，求m的取值范围．
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题正式答案
一、选择题
1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D 7.D 8.B 9.A 10.A 11.C 12.A 二、填空题
（-13. -1 14. -8 15.
三、解答题 17.解：
1，+?） 16. ②③ 4（1）由已知得 tanA=?3，所以A=在 △ABC中，由余弦定理得 （2）有题设可得?CAD=2? 3?2，所以?BAD??BAC??CAD??6
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
1?ABgADgsin26?1 1ACgAD21?4?2sin?BAC?23，所以?ABD的面积为3. 又△ABC的面积为218.解：
（1）由题意知，X所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知
P?X?500??25?7?4?0.4. 90因此X的分布列为
0.2 0.4 0.4 ⑵由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500 当300≤n≤500时，
若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n
若最高气温位于区间?20，,25?，则Y=6×300+2（n-300）-4n=1200-2n; 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n; 因此EY=2n×0.4+（1200-2n）×0.4+(800-2n) ×0.2=640-0.4n 当200≤n?300时，
若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n;
若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n; 因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n
所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。 19.解：
2017全国三卷理科数学高考真题及答案
