第四节 可降阶的二阶微分方程
对一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可以通过积分求得，有的经过适当的变量替换可降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量回代，从而求得所给二阶微分方程的解.
分布图示
★ y???f(x)型
★ 例1
★ y???f(x,y?)型
★ 例3
★ y???f(y,y?)型 ★ 例6
★ 内容小结 ★ 习题8-4
★ 例7
★ 课堂练习
★ 例4
★ 例5
★ 例2
内容要点
一、y???f(x)型
在方程y???f(x)两端积分，得 y??再次积分，得 y??f(x)dx?C
112???f(x)dx?C?dx?C
注：这种类型的方程的解法，可推广到n阶微分方程
y(n)?f(x)，
只要连续积分n次, 就可得这个方程的含有n个任意常数的通解. 二、y???f(x,y?)型
这种方程的特点是不显含未知函数y，求解的方法是:
令y??p(x), 则y???p?(x)，原方程化为以p(x)为未知函数的一阶微分方程,
p??f(x,p).
设其通解为
p??(x,C1),
然后再根据关系式y??p, 又得到一个一阶微分方程
dy??(x,C1). dx对它进行积分，即可得到原方程的通解
y???(x,C1)dx?C2.
三、y???f(y,y?)型
这种方程的特点是不显含自变量x. 解决的方法是：把y暂时看作自变量，并作变换y??p(y), 于是，由复合函数的求导法则有
y???这样就将原方程就化为
dpdpdydp???p. dxdydxdypdp?f(y,p). dy这是一个关于变量y、p的一阶微分方程. 设它的通解为
y??p??(y,C1),
这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解
dy??(y,C1)?x?C2.
例题选讲
y???f(x)型
例1（E01）求方程y???e2x?cosx满足y(0)?0,y?(0)?1的特解.
解 对所给方程接连积分二次,得
1y??e2x?sinx?C1, (1)
21y?e2x?cosx?C1x?C2, (2)
4在(1)中代入条件y?(0)?1,得C1?从而所求题设方程的特解为
15,在(2)中代入条件y(0)?0,得C2??, 24115y?e2x?cosx?x?.
424
例2 求方程xy(4)?y(3)?0的通解.
解 设y????P(x),代入题设方程,得xP??P?0(P?0),
解线性方程,得P?C1x(C1为任意常数)，即y????C1x,
C1两端积分,得y???C1x2?C2,y??1x3?C2x?C3,
26再积分得到所求题设方程的通解为
y?C14C22x?x?C3x?C4,其中Ci(i?1,2,3,4)为任意常数.242
进一步通解可改写为y?d1x4?d2x2?d3x?d4.其中di(i?1,2,3,4)为任意常数.
y???f(x,y?)型
d2ydy例3（E02）求方程(1?x)2?2x?0的通解.
dxdxd2ydpdy解 这是一个不显含有未知函数y的方程.令?p(x),则2?,于是题设方程降
dxdxdxdp2xdp阶为(1?x2)?dx.两边积分,得 ?2px?0,即
p1?x2dx2ln|p|?ln(1?x2)?ln|C1|,即p?C1(1?x2)或
dy?C1(1?x2). dx再积分得原方程的通解
?x3??y?C1?x????C2. 3??
例4 求微分方程初值问题.
(1?x)y???2xy?, y的特解.
解 题设方程属y???f(x,y?)型.设y??p,代入方程并分离变量后,有两端积分，得ln|p|?ln(1?x2)?C,即p?y??C1(1?x2)(C1??ec). 由条件y?x?0?3,得C1?3,所以y??3(1?x2).
两端再积分,得y?x3?3x?C2.又由条件yx?0?1,得C2?1, 于是所求的特解为 y?x3?3x?1.
例5 求微分方程xy???2y??1满足y(1)?2y?(1), 且当x?0时，y有界的特解.
解法1 所给方程不显含y,属y???f(x,y?)型,令y??p,则y???p?,代入方程降阶后求解,此法留给读者练习.
dp2x?dx. p1?x22x?0?1, y?x?0?3
04 第四节 可降阶的二阶微分方程
