第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语
1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 考点1全称量词命题的否定
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1.(2024·辽宁高一(上)省级联考)命题p:?x∈[-1,1],x-1≤0的否定是( )。
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A.p:?x∈[-1,1],x-1>0
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B.p:?x∈[-1,1],x-1≥0
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C.p:?x∈[-1,1],x-1≥0
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D.p:?x∈[-1,1],x-1>0 答案：D
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解析：根据全称量词命题的否定是存在量词命题知命题p:?x∈[-1,1],x-1≤0的否定是“?x∈[-1,1],x2-1>0”,故选D。
2.(2024·安徽马鞍山二中高二期末)已知命题p:某班所有的男生都爱踢足球,则命题?p为( )。
A.某班至多有一个男生爱踢足球 B.某班至少有一个男生不爱踢足球 C.某班所有的男生都不爱踢足球 D.某班所有的女生都爱踢足球 答案：B
解析：命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称量词命题,它的否定是一个存在量词命题,观察四个命题,“某班至少有一个男生不爱踢足球”是原命题的否定。故选:B。
x3.(2024·太原高二(上)期末)命题:“?x∈R,3>0”的否定是( )。
xxA.?x∈R,3≤0 B.?x∈R,3<0
xxC.?x∈R,3≤0 D.?x∈R,3<0 答案：A
x解析：因为全称量词命题的否定为存在量词命题,所以命题:“?x∈R,3>0”的否定是“?xx∈R,3≤0”。故选A。
4.(2024·厦门高二(上)期末)命题“?x,y<0,x+y≤-2√????”的否定为( )。 A.?x,y<0,x+y>-2√???? B.?x,y<0,x+y≥-2√???? C.?x,y≥0,x+y>-2√???? D.?x,y≥0,x+y≤-2√???? 答案：A
解析：根据全称量词命题的否定是存在量词命题,得到命题“?x,y<0,x+y≤-2√????”的否定为“?x,y<0,x+y>-2√????”。故答案为A。
5.若命题p的否定是“对所有正数x,√??>x+1”,则命题p是 。 答案：?x∈(0,+∞),√??≤x+1
解析：命题?p:对所有正数x,√??>x+1,则p:?x∈(0,+∞),√??≤x+1。
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6.(2024·广东中山一中高二(上)统测)命题:“对任意k>0,方程x+x-k=0有实根”的否定是 。
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答案：?k>0,方程x+x-k=0无实根
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解析：根据全称量词命题的否定为存在量词命题,得命题:“对任意k>0,方程x+x-k=0有实根
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“的否定是“?k>0,方程x+x-k=0无实根”。
7.(2024·湖北黄冈高一(上)期末)已知命题p为?x∈[0,+∞),ax+1≥0,则?p为 。 答案：?x∈[0,+∞),ax+1<0 解析：由题意,根据全称量词命题与存在量词命题的关系可得:命题p:?x∈[0,+∞),ax+1≥0,则p为?x∈ [0,+∞),ax+1<0。 考点2存在量词命题的否定
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8.(2024·湖北武汉四校联合体高二(上)期末)命题“?x>1,使得x-1≥0”的否定是( )。
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A.?x>1,使得x-1<0 B.?x>1,使得x-1<0
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C.?x≤1,使得x-1<0 D.?x≤1,使得x-1<0 答案：B
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解析：命题“?x>1,使得x-1≥0”的否定是“?x>1,使得x-1<0”。故选B。
9.(2024·河南信阳高二(上)期末)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )。
A.任意一个有理数,它的平方是有理数 B.任意一个无理数,它的平方不是有理数 C.存在一个有理数,它的平方是有理数 D.存在一个无理数,它的平方不是无理数 答案：B
解析：命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数,它的平方不是有理数”,答案为B。
10.命题“存在一个三角形,内角和不等于180°”的否定为( )。 A.存在一个三角形,内角和等于180° B.任意三角形,内角和都等于180° C.任意三角形,内角和都不等于180° D.很多三角形,内角和不等于180° 答案：B
解析：该命题是一个存在量词命题,于是“存在”的否定为“任意”;“不等于”的否定为“都等于”,命题“存在一个三角形,内角和不等于180°”的否定为“任意三角形,内角和都等于180°”,故选B。
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11.(2024·北京东城区高三(上)期中)命题“?x∈?RQ,x∈Q”的否定是( )。
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A.?x∈?RQ,x?Q B.?x∈?RQ,x?Q
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C.?x??RQ,x∈Q D.?x??RQ,x∈Q 答案：A
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解析：由存在量词命题的否定知,命题“?x∈?RQ,x∈Q”的否定是“?x∈?RQ,x?Q”。选A。
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12.(2024·巨野县第一中学高二下月考)若命题p:?x∈R,x+x-1≥0,则?p: 。
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答案：?x∈R,x+x-1<0
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解析：因为命题p:?x∈R,x+x-1≥0为存在量词命题,所以p:?x∈R,x+x-1<0。
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13.命题“存在x,y<0,x+y≥2xy”的否定为 。
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答案：任意x,y<0,x+y<2xy
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解析：命题“存在x,y<0,x+y≥2xy”的否定为“对于任意x,y<0,x+y<2xy”。 考点3命题的否定的应用
14.(2024·甘肃岷县一中高二(上)期末)给出下列四个命题:
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①有理数是实数;②有些平行四边形不是菱形;③?x∈R,x-2x>0;④?x∈R,2x+1为奇数。 以上命题的否定为真命题的序号依次是( )。 A.①④ B.②④ C.①②③④ D.③ 答案：D
解析：①有理数是实数,为真命题,则该命题的否定为假命题;②有些平行四边形不是菱形,为
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真命题,则该命题的否定是假命题;③?x∈R,x-2x>0,为假命题,当x=0时,不等式不成立,则该命题的否定是真命题;④?x∈R,2x+1为奇数,为真命题,则该命题的否定是假命题。故满足条件的序号是③,故选D。
15.“至多有三个”的否定是( )。 A.至少有三个 B.至少有四个 C.恰有三个 D.一个也没有 答案：B
解析：“至多有三个”的含义是“一个也没有或有一个或有两个或有三个”,其否定为“至少有四个”,选B。
16.下列命题的否定是真命题的是( )。 A.有些实数的绝对值是正数 B.所有平行四边形都不是菱形 C.任意两个等边三角形都是相似的
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D.3是方程x-9=0的一个根 答案：B
解析：A的否定:所有实数的绝对值都不是正数,假命题;B的否定:有些平行四边形是菱形,真
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命题;C的否定:存在两个等边三角形不相似,假命题;D的否定:3不是方程x-9=0的一个根,假命题。选B。
*x17.命题“?x∈R,?n∈N,使得n≤3+2”的否定形式是( )。
*xA.?x∈R,?n∈N,使得n>3+2
*xB.?x∈R,?n∈N,使得n>3+2
*xC.?x∈R,?n∈N,使得n>3+2
*xD.?x∈R,?n∈N,使得n>3+2 答案：D
xx*解析：?的否定是?,?的否定是?,n≤3+2的否定是n>3+2,所以命题“?x∈R,?n∈N,使
x*x得n≤3+2”的否定是“?x∈R,?n∈N,使得n>3+2”,故选D。
18.(2024·陕西吴起高级中学高二(上)期末)写出下列命题的否定,并判断其真假。 (1)任何无理数都是实数;
答案：根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知,原命题的否定为:至少有一个无理数不是实数。由于无理数是实数,故原命题为真命题,其否定为假命题。
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(2)存在一个实数a,能使a+1=0成立。
答案：根据存在量词命题的否定是全称量词命题可知,原命题的否定为:任意一个实数a,不能
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使a+1=0成立。由于a=-1在实数范围内不成立,所以原命题为假命题,那么它的否定就是真命题。
19.写出下列命题的否定并判断真假。
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(1)不论m取何实数,方程x+x+m=0必有实数根;
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答案：这一命题可以表述为“对所有的实数m,方程x+x+m=0都有实数根”,其否定为“存在实数m,使得x+x+m=0没有实数根”,注意到当Δ=1-4m<0,即m>4时,一元二次方程没有实根,因此其否定是真命题。
(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除;
答案：命题的否定是“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”,是假命题。 (3)某些梯形的对角线互相平分;
答案：命题的否定是“任何梯形的对角线都不互相平分”,是真命题。 (4)被8整除的数能被4整除。
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1
答案：命题的否定是“存在一个数能被8整除,但不能被4整除”,是假命题。 20.(2024·荣成第四中学高二(下)月考)写出下列命题的否定,并判断其真假。 (1)p:三角形的内角和等于180°;
答案：p:存在一个三角形,它的内角和不等于180°。假命题。 (2)p:有的素数是偶数;
答案：p:所有的素数都不是偶数。因为2是素数也是偶数,故p为假命题。
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(3)p: 至少有一个实数x,使x+2=0;
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答案：p:对任意的实数x,都有x+2≠0。真命题。
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(4)p:?x,y∈R,x+y+2x-4y+5=0。
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答案：p:?x,y∈R,x+y+2x-4y+5≠0。真命题。
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