华北电力大学 2018-2019学年第1学期考试试卷(B)
课程名称 专业班级 考试方式 命题教师 复变函数与积分变换 课程编号 全校各班 闭卷 命题组 需要份数 试卷页数 主任签字 00900090 1600 2 考核日期时间 送交日期 A B卷齐全 备 注 2019.1.9 2018.12.28 是 注意：请将所有答案写在答题册上，写在试卷上无效。
一、 填空题(共15分，每小题3分) 1. 设z?5,arg(z?i)?3?，则z? 。 42. 计算(1+3i)i=_______。 3. 幂级数
n的收敛半径为R=______________。 (cosin)z?n?0?4.f(t)?t?sint的Laplace变换是 。
5. 若f(t)为定义在(??,??)上的奇函数，且t?0时，f(t)?e f(t)的Fourier积分表达式为___________。
二、 (10分) 求等式z1?z2?z1?z2成立的充要条件，其中z2?0.
三、（10分）已知调和函数v(x,y)?x3?3xy2，求解析函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，使 f(0)?2.
??t(??0)，则
四、(10分)求函数f(z)?1在圆环域0?z|?1内的Laurent展式。
z2(z?i)五、计算下列积分（封闭曲线均为正向）（共25分, 每小题5分）：
1.
z?1?z?1dz
2.
|z|?2??z?1??z?i??z?3?dz
34z3.
???0(t?1)2e?2tdt
15zsin2xdxdz 4. ? 5. 2226??x2?x?1(z?1)(z?2)z?3??
六、(1).设g(t)???sint, 0?t??，求g(t)的Laplace变换；(4分)
?0, 其它 (2).利用(1)的结论求f(t)?|sint|的Laplace变换。(6分)
5?七、某一分式线性映射把偏心圆环域??z:z?1且z?i??映射为同心圆环域2?w?r， 2??5?（1）试求关于圆周z:z?1和??z:z?i??的一对公共对称点；(5分) 2??（2）试求该映射及r值。(5分)
??八、(10分)求函数f(t)?e
??|t|(??0)的Fourier变换，并证明
???0cos(?t)???|t|d??e. 22???2?华北电力大学 2018-2019学年第1学期考试试卷(B)答案
一、 填空题(共15分，每小题3分) 1. 设z?5,arg(z?i)?2. 计算(1+3i)=e?i3?，则z?4?1?2i
??2k?3??cos?ln2??isin?ln2??,(k?0,?1,?2,...)
1e3. 幂级数
?(cosin)zn的收敛半径为R=
n?0
4.f(t)?t?sint的Laplace变换是
2s(s2?1)2??t5. 若f(t)为定义在(??,??)上的奇函数，且t?0时，f(t)?e(??0)，则 ??t?e,t?0i?t1??2i?e? f(t)的Fourier积分表达式为d???0,t?0(或 =f(t)) 22???2??????e?t,t?0?二、 (10分) 求等式z1?z2?z1?z2成立的充要条件，其中z2?0. 解：z1?z2?z1?z2??z1?z2??z1?z2?z1?z2 ?|z1z2|??Re(z1z2)??Re?????2 --------------(3分)
?z1?|z2|2? --------------------------(3分) ?z2? ??z?z1??Re ?1? z2?z2?z1?0. -----------------------------------------(4分) z2 ?三、（10分）已知调和函数v(x,y)?x3?3xy2，求解析函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，使 f(0)?2.
解：由于函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)解析，则
?u?v?=?6xy， ---------------(2分) ?x?y故u=?6xydx??3x2y?g(y)。 ---------------(2分)
?由于函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)解析，则
?u?v??， --------------(2分) ?y?x即?3x2?g'(y)??3x2+3y2，故g(y)?y3?c，u(x,y)?y3?3x2y?c。-----------(2分)
从而解析函数为f(z)?y3?3x2y?c?i(x3?3xy2)，又f(0)?2，则c?2，
f(z)?y3?3x2y?2?i(x3?3xy2)。 --------------------------(2分)
四、(10分)求函数f(z)?1在圆环域0?z|?1内的Laurent展式。
z2(z?i)??1111?znzn解：当0?z?1时，???????n??n?1??i1?nzn, ------(8分)
z?ii1?zin?0?i?n?0?i?n?0i?1??i1?nzn?2. -----------------(2分) 于是2z?z?i?n?0五、计算下列积分（封闭曲线均为正向）（共25分, 每小题5分）：
（评分标准：以下1--5小题， 过程正确给4分，结论正确给1分；只是方法正确给3分）
1.
z?1?z?1dz
2?解：
z?1?z?1dz=2i?08|cos?|ei?d??.
32.
|z|?2??z?1??z?i??z?3?dz
34|z|?2z解：
??z?1??z?i??z?3?dz
34z=?2?i(Res[z?z?1??z?i??z?3?34,3]?Res[z?z?1??z?i??z?3?34,?])
=?2?i(3?0).
23(3?i)43.
???0(t?1)2e?2tdt
解：
???0(t?1)2e?2tdt=[(t?1)2]|s?2?([t2]?2[t]?[1])|s?2
?(4.
?2115 ?2?)|?s?232sss4sin2x???x2?x?1dx
?sin2xdx=Im解：???x2?x?1?????e2ixdx
x2?x?1e2iz?1?3ie?3 =Im{2?i?Res[2. ,]}??2?sin1z?z?123z155. ?dz 2226(z?1)(z?2)z?3z15z15解：?dz=?2?i?Res[2,?]?2?i. 2226226(z?1)(z?2)(z?1)(z?2)z?3六、(1).设g(t)???sint, 0?t??，求g(t)的Laplace变换；(4分)
?0, 其它 (2).利用(1)的结论求f(t)?|sint|的Laplace变换。(6分)
??解：(1)
[g(t)]??sint?edt??0?st0eit?e?it?st?edt ------------(2分)2i?11(i?s)t1?(i?s)t?[e?e]2ii?si?s0?1?es2?1??s
-------------(2分)
?k?0(2) 由(1)可得f(t)?g(t)?g(t??)?g(t?2?)????g(t?k?) -----------(2分)
1?e??s?k?s?e，------------------(2分) 利用延迟性质，可得[g(t?k?)]?2s?11?e??s?k?s11?e??s所以[f(t)]??2。（要求|e??s|?1,即Res?0）---(2分)?e?2???s s?1s?11?ek?0?
5?七、某一分式线性映射把偏心圆环域??z:z?1且z?i??映射为同心圆环域2?w?r，
2??
华北电力大学复变2018-2019-B-试卷及答案
