第二节???平面静定桁架的内力计算
桁架是工程中常见的一种杆系结构,它是由若干直杆在其两端用铰链连接而成的几何形状不变的结构。桁架中各杆件的连接处称为节点。由于桁架结构受力合理,使用材料比较经济,因而在工程实际中被广泛采用。房屋的屋架(见图3-10)、桥梁的拱架、高压输电塔、电视塔、修建高层建筑用的塔吊等便是例子。
图3-10房屋屋架
杆件轴线都在同一平面内的桁架称为平面桁架(如一些屋架、桥梁桁架等),否则称为空间桁架(如输电铁塔、电视发射塔等)。本节只讨论平面桁架的基本概念和初步计算,有关桁架的详细理论可参考“结构力学”课本。在平面桁架计算中,通常引用如下假定:
1)组成桁架的各杆均为直杆;
2)所有外力(载荷和支座反力)都作用在桁架所处的平面内,且都作用于节点处;
3)组成桁架的各杆件彼此都用光滑铰链连接,杆件自重不计,桁架的每根杆件都是二力杆。
满足上述假定的桁架称为理想桁架,实际的桁架与上述假定是有差别的,如钢桁架结构的节点为铆接(见图3-11)或焊接,钢筋混凝土桁架结构的节点是有一定刚性的整体节点,
图3-11?钢桁架结构的节点
它们都有一定的弹性变形,杆件的中心线也不可能是绝对直的,但上述三点假定已反映了实际桁架的主要受力特征,其计算结果可满足工程实际的需要。
分析静定平面桁架内力的基本方法有节点法和截面法,下面分别予以介绍。 一、节点法
因为桁架中各杆都是二力杆,所以每个节点都受到平面汇交力系的作用,为计算各杆内力,可以逐个地取节点为研究对象,分别列出平衡方程,即可由已知力求出全部杆件的内力,这就是节点法。由于平面汇交力系只能列出两个独立平衡方程,所以应用节点法往往从只含两个未知力的节点开始计算。
例3-8?平面桁架的受力及尺寸如图3-12a所示,?试求桁架各杆的内力。
图3-12?例3-8图
解:(1)求桁架的支座反力
以整体桁架为研究对象,桁架受主动力2F以及约束反力
、
、
作用,列平衡方程并求解:
,??????=0
,??2×-=0,???=?????????????
,??????
(2)求各杆件的内力
+-2=0,????=2-=
设各杆均承受拉力,若计算结果为负,表示杆实际受压力。设想将杆件截断,取出各节点为研究对象,作A、D、C节点受力图(图3-12b),其中
=
,
=
,
=
。
平面汇交力系的平衡方程只能求解两个未知力,故首先从只含两个未知力的节点A开始,逐次列出各
节点的平衡方程,求出各杆内力。
节点A:
????,????+
sin300=0,????????????
=-2=-2F(压)
????节点D:
,????+
cos300=0,??????
=-0.866=1.73F(拉)
,????-+=0,??????????===1.73F(拉)
,????
节点C:
-2F=0,?????????????=2F(拉)
,???-
?sin600+sin600=0,??
==-2F(压)
至此已经求出各杆内力,节点C的另一个平衡方程可用来校核计算结果:
,????-
将各杆内力计算结果列于表3-2:
cos600-cos600-
=0
表3-2??例3-8计算结果
杆号 内力 1 -2F 2 1.73F 3 2F 4 -2F 5 1.73F 例3-9?试求图3-13a所示的平面桁架中各杆件的内力,已知
,G=20kN。
(a)???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????(b)
图3-13?例3-9图
解?(1)画出各节点受力图,如图3-13b所示,其中
=Fi(i=1,2,…,6)。各点未知力个数、平衡方程
数如表3-3。由于A点的平衡方程数与未知力个数相等,所以首先讨论A点。
表3-3??未知力个数、平衡方程数
节点 未知力个数 独立方程数 A 2 2 B 3 2 C 4 2 D 4 2 E 2 1 (2)逐个取节点,列平衡方程并求解 节点A:
????
,????F1sin300-G=0,?????
?(拉)
????节点B:
,???-F1cos300-F2=0,???????F2=-F1cos300=-34.6kN(压)
,????,????????????=-34.6kN(压)
,????F3-G=0,??????????????F3=G=20kN(拉)
节点C:
????
,????-F5cos300-F3cos300=0,????????????F5=-F3=-20kN?(压)
,???
cos600-F5cos600=0,
cos600-F5cos600=40+20cos600-(-20)cos600?kN?=60kN(拉)
F4=
将各杆内力计算结果列于表3-4:
表3-4??各杆内力计算结果
杆号 内力/kN 二、截面法
节点法适用于求桁架全部杆件内力的场合。如果只要求计算桁架内某几个杆件所受的内力,则可用截面法。这种方法是适当地选择一截面,在需要求解其内力的杆件处假想地把桁架截开为两部分,然后考虑其中任一部分的平衡,应用平面任意力系平衡方程求出这些被截断杆件的内力。
1 40 2 -34.6 3 20 4 60 5 -20 6 -34.6 例3-10???如图3-14a所示的平面桁架,各杆件的长度都等于1.0m,在节点E上作用荷载F1=21k
N,在节点G上作用荷载F2=15kN,试计算杆1、2和3的内力。
图3-14?例3-10图
?解:(1)求支座反力
以整体桁架为研究对象,受力图如图3-14a所示,列平衡方程:
,????????=0?
,????
×3.0-F1×1.0-F2×2.0=0??
,?????????
解得:
+-F1-F2=0??
==17kN,?=kN
(2)求杆1、2和3的内力
作截面mn假想将此三杆截断,并取桁架的左半部分为研究对象,设所截三杆都受拉力,这部分桁架
的受力图如图3-14b所示。列平衡方程:
,????-
×1.0×sin600-
×1.0=0
,????F1×0.5+
×1.0×sin600-
×1.5=0??
,???
解得:
+
×sin600-F1=0?
=-21.9kN(压)
=?kN=20.8kN(拉)
=?kN=2.3kN(拉)
如果选取桁架的右半部分为研究对象,可得到相同的计算结果。
例3-11??平面桁架结构尺寸如图3-15a所示,试计算杆1、2和3的内力。
图3-15?例3-11图
解:(1)求支座反力
以整体桁架为研究对象,受力图如图3-15b所示,列平衡方程:
,???????????
?,?FB×8a-F1×a-F1×2a-F1×3a-F1×4a-F2×5a-F2×6a-F2×7a=0
,?????????
解得:??
+FB?-4 F1-3 F2=0????
,?
(2)求杆1、2和3的内力
=-FB+4 F1+3 F2=
作截面I-I假想将杆1、2、3截断,并取桁架的左半部分为研究对象,设所截三杆都受拉力,这部分
桁架的受力图如图3-15c所示。列平衡方程:
,?????
,??????
,????
解得:
(压),(拉),(拉)
由上面的二个例子可见,采用截面法求内力时,如果矩心取得恰当,力矩平衡方程中往往仅含一个未
知力,求解方便。另外,由于平面任意力系只有三个独立平衡方程,因此作假想截面时,一般每次最多只能截断三根杆件,如果截断的杆件多于3根时,它们的内力一般不能全部求出。
习??题
静定桁架的内力计算
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