第二节???平面静定桁架的内力计算
桁架是工程中常见的一种杆系结构，它是由若干直杆在其两端用铰链连接而成的几何形状不变的结构。桁架中各杆件的连接处称为节点。由于桁架结构受力合理，使用材料比较经济，因而在工程实际中被广泛采用。房屋的屋架（见图3－10）、桥梁的拱架、高压输电塔、电视塔、修建高层建筑用的塔吊等便是例子。
图3－10房屋屋架
杆件轴线都在同一平面内的桁架称为平面桁架（如一些屋架、桥梁桁架等），否则称为空间桁架（如输电铁塔、电视发射塔等）。本节只讨论平面桁架的基本概念和初步计算，有关桁架的详细理论可参考“结构力学”课本。在平面桁架计算中，通常引用如下假定：
１）组成桁架的各杆均为直杆；
２）所有外力（载荷和支座反力）都作用在桁架所处的平面内，且都作用于节点处；
３）组成桁架的各杆件彼此都用光滑铰链连接，杆件自重不计，桁架的每根杆件都是二力杆。
满足上述假定的桁架称为理想桁架，实际的桁架与上述假定是有差别的，如钢桁架结构的节点为铆接（见图3－11）或焊接，钢筋混凝土桁架结构的节点是有一定刚性的整体节点，
图3－11?钢桁架结构的节点
它们都有一定的弹性变形，杆件的中心线也不可能是绝对直的，但上述三点假定已反映了实际桁架的主要受力特征，其计算结果可满足工程实际的需要。
分析静定平面桁架内力的基本方法有节点法和截面法，下面分别予以介绍。 一、节点法
因为桁架中各杆都是二力杆，所以每个节点都受到平面汇交力系的作用，为计算各杆内力，可以逐个地取节点为研究对象，分别列出平衡方程，即可由已知力求出全部杆件的内力，这就是节点法。由于平面汇交力系只能列出两个独立平衡方程，所以应用节点法往往从只含两个未知力的节点开始计算。
例3－8?平面桁架的受力及尺寸如图3－12ａ所示，?试求桁架各杆的内力。
图3－12?例3－8图
解：（1）求桁架的支座反力
以整体桁架为研究对象，桁架受主动力2F以及约束反力
、
、
作用，列平衡方程并求解：
，??????＝０
，??２×－＝０，???＝?????????????
，??????
（2）求各杆件的内力
＋－２＝０，????＝2－=
设各杆均承受拉力，若计算结果为负，表示杆实际受压力。设想将杆件截断，取出各节点为研究对象，作A、D、C节点受力图（图3－12ｂ），其中
＝
，
=
，
=
。
平面汇交力系的平衡方程只能求解两个未知力，故首先从只含两个未知力的节点A开始，逐次列出各
节点的平衡方程，求出各杆内力。
节点Ａ：
????，????＋
sin300＝０,????????????
＝－2=－２F（压）
????节点Ｄ：
，????＋
cos300＝０,??????
＝－0.866=1.73F（拉）
，????－＋＝０,??????????＝==1.73F（拉）
，????
节点Ｃ：
－２F＝０,?????????????＝２F（拉）
，???－
?sin600＋sin600＝０，??
＝＝－２F（压）
至此已经求出各杆内力，节点Ｃ的另一个平衡方程可用来校核计算结果：
，????－
将各杆内力计算结果列于表3-2：
cos600－cos600－
＝０
表3－2??例3－8计算结果
杆号 内力 1 －2F 2 1.73F 3 2F 4 －2F 5 1.73F 例3－9?试求图3－13a所示的平面桁架中各杆件的内力，已知
，G=20kN。
(a)???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????(b)
图3－13?例3－9图
解?（1）画出各节点受力图，如图3－13b所示，其中
＝Fi(i=1,2,…,6)。各点未知力个数、平衡方程
数如表3－3。由于A点的平衡方程数与未知力个数相等，所以首先讨论A点。
表3－3??未知力个数、平衡方程数
节点 未知力个数 独立方程数 A 2 2 B 3 2 C 4 2 D 4 2 E 2 1 （2）逐个取节点，列平衡方程并求解 节点Ａ：
????
，????F1sin300－G=０,?????
?（拉）
????节点B：
，???－F1cos300－F2=０,???????F2=－F1cos300=－34.6kN（压）
，????,????????????＝－34.6kN（压）
，????F３－G＝０,??????????????F３=G＝20kN（拉）
节点C：
????
，????－F5cos300－F3cos300=０,????????????F5=－F3=－20kN?（压）
，???
cos600－F5cos600=０,
cos600－F5cos600=40+20cos600－(－20)cos600?kN?=60kN（拉）
F4=
将各杆内力计算结果列于表3-4：
表3－4??各杆内力计算结果
杆号 内力/kN 二、截面法
节点法适用于求桁架全部杆件内力的场合。如果只要求计算桁架内某几个杆件所受的内力，则可用截面法。这种方法是适当地选择一截面，在需要求解其内力的杆件处假想地把桁架截开为两部分，然后考虑其中任一部分的平衡，应用平面任意力系平衡方程求出这些被截断杆件的内力。
1 40 2 －34.6 3 20 4 60 5 －20 6 －34.6 例3－10???如图3－14ａ所示的平面桁架，各杆件的长度都等于1.0ｍ，在节点Ｅ上作用荷载F１＝21k
Ｎ，在节点Ｇ上作用荷载F２＝15kＮ，试计算杆１、２和３的内力。
图3－14?例3－10图
?解：（1）求支座反力
以整体桁架为研究对象，受力图如图3－14ａ所示，列平衡方程：
，????????＝０?
，????
×3.0－F1×1.0－F2×2.0＝0??
，?????????
解得：
＋－F１－F２＝０??
＝=17kＮ，?＝kＮ
（2）求杆１、２和３的内力
作截面ｍｎ假想将此三杆截断，并取桁架的左半部分为研究对象，设所截三杆都受拉力，这部分桁架
的受力图如图3－14ｂ所示。列平衡方程：
,????－
×1.0×sin600－
×1.0=0
,????F1×0.5＋
×1.0×sin600－
×1.5＝０??
，???
解得：
＋
×sin600－F1＝０?
=－21.9kＮ（压）
＝?kＮ=20.8kＮ（拉）
＝?kＮ=2.3kＮ（拉）
如果选取桁架的右半部分为研究对象，可得到相同的计算结果。
例3－11??平面桁架结构尺寸如图3－15ａ所示，试计算杆１、２和３的内力。
图3－15?例3－11图
解：（1）求支座反力
以整体桁架为研究对象，受力图如图3－15b所示，列平衡方程：
，???????????
?，?FB×8a－F1×a－F1×2a－F1×3a－F1×4a－F2×5a－F2×6a－F2×7a＝0
，?????????
解得：??
＋FB?－4 F1－3 F2＝０????
，?
（2）求杆１、２和３的内力
=－FB+4 F1+3 F2=
作截面I－I假想将杆1、2、3截断，并取桁架的左半部分为研究对象，设所截三杆都受拉力，这部分
桁架的受力图如图3－15c所示。列平衡方程：
,?????
,??????
，????
解得：
（压），(拉)，(拉)
由上面的二个例子可见，采用截面法求内力时，如果矩心取得恰当，力矩平衡方程中往往仅含一个未
知力，求解方便。另外，由于平面任意力系只有三个独立平衡方程，因此作假想截面时，一般每次最多只能截断三根杆件，如果截断的杆件多于３根时，它们的内力一般不能全部求出。
习??题
静定桁架的内力计算
