(m)exp[-jωm]
c3,x(m1,m2)=E[x(n)x(n+m1)x(n+m2)] (1.23) ∞ ∞ 3,x
B(ω1,ω2)=S3,x(ω1,ω2)= ∑∑c
m1=-∞m2=-∞
(m1,m2)exp[-j(ω1m1+ω2m2)] (1.24)
由式(1.23)可知，三阶累积量c3,x(m1,m2)具有如下对称性： c3,x(m1,m2)=c3,x(m2,m1)=c3,x(-m2,m1-m2)=c3,x(m2-m1,-m1) =c3,x(m1-m2,-m2)=c3,x(-m1,m2-m1) (1.25)
由式(1.24)双谱的定义及式(1.25)三阶累积量的对称性可知： (1) B(ω1,ω2)通常是复数，即包含幅度和相位。
B(ω1,ω2)=B(ω1,ω2)exp[jφB(ω1,ω2)]
(2) B(ω1,ω2)是以2π为周期的双周期函数，即 B(ω1,ω2)=B(ω1+2π,ω2+2π) (3) B(ω1,ω2)具有如下对称性
B(ω1,ω2)=B(ω2,ω1)=B*(-ω2,-ω1)=B*(-ω1,-ω2) =B(-ω1-ω2,ω2)=B(ω1,-ω1-ω2) =B(-ω1-ω2,ω1)=B(ω2,-ω1-ω2) (1.26) 此外，双谱在实际应用中还具有如下重要特性：
(1) 高斯过程：如果{x(n)}为零均值、高斯平稳随机过程，则对于所有 m1,m2，都有c3,x(m1,m2)=0，因此B(ω1,ω2)=0。
(2)非高斯白噪声过程：如果{w(n)}是具有E[w(n)]=0，
E[w(n)w(n+m1)w(n+m2)]=βδ(m1,m2)的非高斯白噪E[w(n)w(n+m)]=Qδ(m)， 声过程，则其功率谱和双谱分别为一直线与一平面，即S(ω)=Q，B(ω1,ω2)=β。 (3) 非高斯白噪声通过线性系统：设线性系统的传递函数为H(z)，系统的 2
输入为零均值非高斯白噪声{w(n)}，且E[w(n)]=0，E[w2(n)]=σw， E[w(n)]=γ3w，则系统输出{y(n)}的功率谱与双谱分别为 3
S(ω)=σwH(ω) 2 2
(1.27) *
B(ω1,ω2)=γ3wH(ω1)H(ω2)H(ω1+ω2) (1.28) 设 H(ω)=H(ω)exp[j?(ω)] (1.29) (1.30) 则
B(ω1,ω2)=γ3w?H(ω1)?H(ω2)H(ω1+ω2) B(ω1,ω2)=B(ω1,ω2)exp[j?B(ω1+ω2)]
(2.31)
?B(ω1,ω2)=?(ω1)+?(ω2)-?(ω1+ω2) (2.32)
由上可见，双谱的幅度谱和功率谱均由H(ω)决定，因而双谱的幅度谱与功率谱的信息一样多。但功率谱不含相位信息，而双谱则包含相位信息，这就使双谱在信号处理领域得到越来越多的应用，因为有些场合如对图像处理来说，相位信息比幅度信息还重要。
(4) 非最小相位系统的辨识 双谱含有相位信息，因此在非最小相位系统辨识中变得十分有用，现用一个简单的例子加以说明。设输入为非高斯平稳白 2
噪声过程{w(n)}，它有E[w(n)]=0，E[w2(n)]=σw，E[w3(n)]=γ3w。线性系统 为下列三种情形的二阶FIR系统。
1) 最小相位系统 H1(z)=(1-az-1)(1-bz-1),系统输出为 y1(n)=w(n)-(a+b)w(n-1)+abw(n-2) 2) 最大相位系统
H2(z)=(1-az)(1-bz) 系统输出为 y2(n)=w(n)-(a+b)w(n+1)+abw(n+2) 3) 混合相位系统
H3(z)=(1-az)(1-bz-1) 系统输出为
y3(n)=-aw(n+1)+(1+ab)w(n)-bw(n-1) 输出{y1(n)}，{y2(n)}及{y3(n)}具有相同的自相关序列，即
r(m)=E[y1(n)y1(n+m)]=E[y2(n)y2(n+m)]=E[y3(n)y3(n+m)] 0 a 1,0 b 1 2
r(0)=[1+a2b2+(a+b)2]σw 2 r(1)=[-(a+b)(1+ab)]σw
r(2)=abσ 2
w
r(m)=0,m≥3
这就意味着它们具有相同的功率谱，因此利用功率谱无法将三个系统区分开来。然而利用双谱则可以区分，因为{y1(n)}，{y2(n)}及{y3(n)}具有不同的三阶累积量，见表1.1。这表明三阶累积量可以用来辨识非最小相位系统，这在地震信号反褶积及数据通信中有重要的应用。
表1.1 具有相同自相关的三个系统的输出的三阶累积量
(5) 混合高斯和非高斯系统的辨识 设一过程的功率谱为S(ω)，双谱为 B(ω1,ω2)。若与S(ω)相匹配的线性系统的传递函数为H(z)，即 S(ω)=H(ω) (1.33) 2
而与B(ω1,ω2)相匹配的线性系统的传递函数为T(z)，即
B(ω1,ω2)=T(ω1)T(ω2)T(ω1+ω2) (1.34) *
当由式(1.33)求得的H(ω)与由式(1.34)求得的T(ω)不同时，可用来辨识高斯与非高斯分量组合的系统。下面就来研究这个问题。
考虑如图1-1所示的过程zn，它由两个过程组成：一为高斯白噪声ε(n)通过AR滤波器的输出x(n)，另一为非高斯白噪声w(n)通过AR滤波器的输出y(n)。设ε(n)与w(n)相互独立， ε(n) x(n)
z(n)
w(n) y(n)
图1-1 混合高斯和非高斯系统
2=1，γ3w=1。于是z(n)的因此x(n)与y(n)相互独立。为方便起见，设σε2=σw 双谱是x(n)和y(n)各自双谱的和，因为x(n)是高斯过程，其双谱为零，故z(n)的双谱就是y(n)的双谱。y(n)的双谱可由式(1.34)确定，其中 T(ω)= 而
p1A(ω) A(ω)=1+∑a k=1kexp(-jωk)
z(n)的功率谱为x(n)与y(n)各自功率谱的和，它由式(1.33)确定，其中 14 H(ω)=而
2
A(ω)A(ω) 22
+B(ω)?B(ω) 22 q
B(ω)=1+∑bkexp(-jωk) k=1
这个例子表明，描述过程双谱的模型不同于描述过程功率谱的模型。双谱的这一特征使双谱在辨识高斯与非高斯分量组合系统时起着关键作用，这也是我们利用双谱及多谱（或高阶累积量）进行随机信号建模以及有色噪声中谐波恢复的理论依据。
双谱还具有其它一些性质，如可用来检测二次相位耦合，辨识系统的非线性等，这里就不再详述。
1.6 系统中的高阶累积量
对于单输入单输出线性时不变系统，输入与输出的高阶累积量及多谱之间的关系如下。
定理1 设线性时不变系统的单位脉冲响应为h(n)，传递函数为 ∞
H(ω)=H(z) z=e jω =
∑h(n)e
n=0 -jωn
，系统是稳定的，即单位脉冲响应绝对可和
∞ ∑ n=0 h(n) ∞
，输入过程x(n)的k阶累积量ck,x(m1,m2, ,mk-1)存在且满足平稳和 绝对可和的条件，则 (1) 输出过程
∞ y(n)=
∑h(i)x(n-i) i=0
的k阶累积量ck,y(m1,m2, ,mk-1)存在，且为
ck,y(m1,m2, ,mk-1)=ck,h(m1,m2, ,mk-1)*ck,x(m1,m2, ,mk-1) (1.35) 其中
∞
ck,h(m1,m2, ,mk-1)=(1.36) (2) y(n)的多谱为
∑h(n)h(n+m n=0 1
) h(n+mk-1)
Sk,y(ω1,ω2, ,ωk-1)=H(ω1) H(ωk-1)H(-ω1- -ωk-1)Sk,x(ω1,ω2, ,ωk-1) (1.37)
高阶谱 第1章 高阶统计量的定义与性质.
