高阶谱 第1章 高阶统计量的定义与性质.

(1) 高斯随机变量x的一阶累积量c1和二阶累积量c2恰好就是x的均值和方差。 (2) 高斯随机变量x的高阶累积量ck(k 2)等于零。 (3) 由于高斯随机变量x的各阶矩为

?1?3? ?(k-1)σk,? mk=E[xk]=? 0，? ?

k为偶数 k 2

k为奇数

可见，高阶累积量与高阶矩不一样。由于高斯随机变量x的高阶矩并不比其二阶矩多提供信息，它仍取决于二阶矩的统计知识σ2，所以人们宁愿选择高阶累积量这一统计量，直接把多余的信息用零来处理。 2. 高斯随机过程情形 先讨论n维高斯随机矢量x=[x1,x2, ,xn]T，设其均值矢量为 a=[a1,a2, ,an] T

，协方差矩阵为 ?c11?c21 c=? ???cn1 c12c22 cn2 c1n??c2n ? ??cnn? 其中

cik=E[(xi-ai)(xk-ak)] i,k=1,2, n

n维高斯随机变量x的联合概率密度函数为 p(x)=

(2π)

x的联合特征函数为 1 n/2 c 1/2

?1?T-1

exp?-(x-a)c(x-a)? ?2? Φ(ω)=exp?jaTω- ? ?1 ?T

ωcω? 2?

其中，ω=[ω1,ω2, ,ωn]T x的第二联合特征函数为 ψ(ω)=lnΦ(ω)=jaω- T 12 n

ωcω=j∑aiωi- i=1 T 12 nn ij ∑∑c

i=1 j=1 ωiωj

由于阶数r=k1+k2+ +kn的联合累积量ckk ckk =(-j) r k 12 kn

可由第二特征函数定义为

?ψ(ω)?ω11?ω22 ?ωnn k k r 12 kn

ω1=ω2= =ωn=0

于是，n维高斯随机变量(x1,x2, ,xn)的各阶累积量为：

（1）r=1，即k1,k2, ,kn中某个值取1(设ki=1)，而其余值为零，于是 c0 1 0=(-j) ?ψ(ω)?ωi

ω1=ω2= =ωn=0 =ai=E[xi]

（2）r=2，这有两种情况：

1）ki(i=1,2, ,n)中某两个值取1(设ki=kj=1,i≠j)，其余值为零，这 时

c0 1 1 0=(-j) ?ψ(ω)?ωi?ω

j 2

=cij=E[(xi-ai)(xj-aj)] ω1=ω2= =ωn=0 i≠j

上式利用了关系式cij=cji。

2)ki(i=1,2, ,n中某个值取2（设ki=2），其余值为零，这时 c0 2 0=(-j) 2

?ψ(ω)?ωi

2 2

=cii=E[(xi-ai)] ω1=ω2= =ωn=0 2

（3）r≥3，由于ψ(ω)是关于自变量ωi(i=1,2, ,n)的二次多项式，因而ψ(ω)关于自变量的三阶或三阶以上（偏）导数等于零，因而x的三阶或三阶以上联合累积量等于零，即 ckk

12 kn =0,

k1+k2+ +kn≥3

由上一节关于随机过程的累积量的定义可知，对于高斯随机过程{x(n)}，其阶次大于２的k阶累积量ck,x(m1,m2, ,mk-1)也为零，即 ck,x(m1,m2, ,mk-1)=0, k≥3

(1.17)

由于高斯过程的高阶累积量（当阶次大于２时）等于零，而对于非高斯过程，至少存在着某个大于２的阶次k，其k阶累积量不等于零。因此，利用高阶累积量可以自动地抑制高斯背景噪声（有色或白色）的影响，建立高斯噪声下的非高斯信号模型，提取高斯噪声中的非高斯信号（包括谐波信号）。正因为这样，高阶累积量这一统计量已日益受到人们的重视并已成为信号处理中一种非常有用的工具。因此，文中在今后的算法研究中均代用高阶累积量而不采用高阶矩。 1.5 双谱及其性质 1. 高阶谱的定义

设{x(n)}为零均值平稳随机过程，则其k阶累积量ck,x(m1,m2, ,mk-1)的 (k-1)维付里叶变换定义为{x(n)}的k ∞

阶谱(kth-order spectrum)，即 ∞ k-1 ??

ck,x(m1,m2, ,mk-1)exp?-j∑ωimi? i=1?? (1.18)

Sk,x(ω1,ω2, ,ωk-1)= ∑ ∑ m1=-∞ mk-1=-∞

通常，Sk,x(ω1,ω2, ,ωk-1)为复数，其存在的充分必要条件是 ck,x(m1,m2, ,mk-1)绝对可和，即 ∞ ∞ ∑ ∑

m1=-∞

ck,x(m1,m2, ,mk-1) ∞ mk-1=-∞

高阶谱又称作多谱(Polyspectrum)，通常k阶谱对应于(k-1)谱。例如三阶 谱对应双谱(Bispectrum)，四阶谱对应于三谱(Trispectrum)，今后我们大多数采用多谱这一概念。

取k=2,3,4时，式(1.18)分别简化为功率谱、双谱和三谱公式，即

k=2，为功率谱 ∞

S2,x(ω)=

(1.19) k=3，为双谱 ∞ ∑c m1=-∞ 2,x

(m)exp[-jωm] ∞ 3,x

S3,x(ω1,ω2)=(1.20) k=4，为三谱

∞ ∑∑c

m1=-∞m2=-∞

(m1,m2)exp[-j(ω1m1+ω2m2)] ∞∞

S4,x(ω1,ω2,ω3)=

∑∑∑

m1=-∞m2=-∞m3=-∞

c4,x(m1,m2,m3)exp[-j(ω1m1+ω2m2+ω3m3)] (1.21)

容易看出，式(1.19)就是维纳-辛钦定理。可见，功率谱也是高阶谱的一种特殊形式。

2. 双谱的性质

在高阶谱中，双谱处理方法最简单，且含有功率谱中所没有的相位信息，是高阶谱研究中的“热点”。因此下面着重研究双谱及其性质。

设{x(n)}为零均值、三阶实平稳随机过程，其自相关函数和功率谱分别为 rx(m)=c2,x(m)=E[x(n)x(n+m)] (1.22) ∞

S(ω)=S2,x(ω)=而其三阶累积量和双谱分别为 ∑r m=-∞ x