高考数学压轴题放缩法技巧全总结最强大
Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
放缩技巧
（高考数学备考资料）
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
一、裂项放缩
例1.(1)求?k?1n24k?122的值; (2)求证:??15?. 23k?1kn解析:(1)因为 (2)因为
4n2?11211,所以n212n ???1???2(2n?1)(2n?1)2n?12n?12n?12n?1k?14k?141?n2n1111?25 1?,所以?1?1?2??1??????1????2?2?2???k352n?12n?133??k?114n?1?2n?12n?1?n2?4奇巧积累
:
(1)
2111441? (2)1?1 ??????2???12222n4n4n?1?2n?12n?1?Cn?1Cn(n?1)n(n?1)n(n?1)n(n?1) (3)Tr?1?Cnr?n1n!11111??r????(r?2) rr!(n?r)!nr!r(r?1)r?1rn (4)(1?1)n?1?1?1?1???2?13?215? n(n?1)21?n?2?n n?221?111????n?n?1(2n?1)?2(2n?3)?2n?2n?12n?3?2 (5)
111?n?nnn2(2?1)2?12 (6)
(7)2( (9)
n?1?n)?1n?2(n?n?1) (8) ??
111?111?11?? ????,????k(n?1?k)?n?1?kk?n?1n(n?1?k)k?1?nn?1?k?n11 (11)??1(n?1)!n!(n?1)!?2(2n?1?2n?1)?n222n?1?2n?1?n?211?n?22 (10)
(11) (12)
2n2n2n2n?111 ?????(n?2)n2nnnnnn?1n?1n(2?1)(2?1)(2?1)(2?1)(2?2)(2?1)(2?1)2?12?11n3?1n?n2???1111 ?????n(n?1)(n?1)?n(n?1)??n(n?1)?n?1?n?13?12n?2n?13 (13) 2n?1?2?2n?(3?1)?2n?3?3(2n?1)?2n?2n?1?2n (14) (15)
n?n?1(n?2)
k?211 (15) 1???k!?(k?1)!?(k?2)!(k?1)!(k?2)!n(n?1)i2?1?j2?1i2?j2?i?j(i?j)(i2?1?j2?1)?i?ji2?1?j2?1?1
例2.(1)求证:1?11171??????(n?2) 22262(2n?1)35(2n?1)(2)求证:1?1?1???12?1?1
416364n24n (3)求证:1?1?3?1?3?5???1?3?5???(2n?1)?2n?1?1
22?42?4?62?4?6???2n???1n(4) 求证：2(n?1?1)?1?12?13?2(2n?1?1)
解析:(1)因为 (2)1?4111?11??????(2n?1)2(2n?1)(2n?1)2?2n?12n?1?,所以
?(2i?1)i?1n12111111 ?1?(?)?1?(?)232n?1232n?111111111????2?(1?2???2)?(1?1?) 163644n4n2n12n?1 (3)先运用分式放缩法证明出1?3?5???(2n?1)?2?4?6???2n,再结合
1n?2?n?2?n进行裂项,最后就可以得
到答案 (4)首先再证
1n1n?2(n?1?n)?2n?1?n22,所以容易经过裂项得到2(2n?11?n?22n?1?1)?1?12?13???1n
而由均值不等式知道这是显然成立的，
?2(2n?1?2n?1)?2n?1?2n?1?所以1?12?13???1n?2(2n?1?1)
例3.求证:
6n1115?1?????2?
(n?1)(2n?1)49n31?n21??1?2?2???14n?1?2n?12n?1?n2?414解析: 一方面: 因为,所以
?kk?1n1211?25 ?11?1?2????????1??2n?12n?1?33?35 另一方面: 1?1?1???4911111n ?1??????1??n22?33?4n(n?1)n?1n?1 当n?3时,
6n111n6n,当n?1时,?1?????2?(n?1)(2n?1)49nn?1(n?1)(2n?1)6n111?1?????2(n?1)(2n?1)49n,
当n?2时,
所以综上有
,
6n1115?1?????2?
(n?1)(2n?1)49n31)，整数?1.an?1?f(an).设b?(a1，例4.(2008年全国一卷)设函数f(x)?x?xlnx.数列?an?满足0?ak≥a1?b.证明:a?b. k?1a1lnb1解析: 由数学归纳法可以证明?an?是递增数列, 故 若存在正整数m?k, 使am?b, 则a若am?b(m?k),则由0?a1?am?b?1知amlnam?a1lnam?a1lnb?0,ak?1?ak?aklnakk因为?amlnam?k(a1lnb),于是ak?1?a1?k|a1lnb|?a1?(b?a1)?b
m?1km?1k?1?ak?b,
?a1??amlnam,
高考数学压轴题放缩法技巧全总结最强大
