第二章 推理与证明
(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法正确的是( ) A．归纳推理是由一般到特殊的推理 B．演绎推理得出的结论一定是正确的 C．类比推理是由特殊到特殊的推理 D．演绎推理是由特殊到一般的推理 答案：C
2．三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a>0”，你认为这个推理( )
A．大前提错误 C．推理形式错误 答案：A
π2πnπ*
3．若Sn＝sin＋sin＋…＋sin(n∈N)，则在S1，S2，…，S100中，正数的个数
777是( )
A．16 C．86
B．72 D.100 B．小前提错误 D.是正确的
2
解析：由题意可知，S13＝S14＝S27＝S28＝S41＝S42＝…＝S97＝S98＝0，共14个，其余均为正数，故共有100－14＝86个正数．
答案：C
4．用数学归纳法证明“5 －2能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5
k＋1
nn－2
kk＋1
变形为( )
kkA．(5－2)＋4·5－2 B．5(5－2)＋3·2 C．(5－2)(5－2) D．2(5－2)－3·5 解析：5
k＋1kkkkkkkkk－2
k＋1
＝5·5－2·2＝5·5－2·5＋2·5－2·2＝5(5－2)＋3·2.
kkkkkkkkk答案：B
5．“平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P的轨迹为椭圆”的( )
1
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由椭圆定义可知当平面内一动点P的轨迹为椭圆时有平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数，反之不成立，所以是必要不充分条件．
答案：B
6．类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)＝a－a，C(x)＝a＋a，其中a>0，且a≠1，下面正确的运算公式是( )
①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)； ②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)； ③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)； ④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)． A．①② C．①④
x－xx－xx－xB．③④ D.②③
x－x解析：∵S(x)＝a－a，C(x)＝a＋a， ∴S(y)＝a－a，C(y)＝a＋a， ∴S(x)C(y)＝(a－a)(a＋a)＝
x－xy－yy－yy－yax＋y＋ax－y－a－x＋y－a－x－y， C(x)S(y)＝(ax＋a－x)(ay－a－y)＝ ax＋y－ax－y＋a－x＋y－a－x－y，
∴S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(ax＋y－a－x－y)＝2S(x＋y)，
S(x)C(y)－C(x)S(y)＝2(ax－y－a－x＋y)＝2S(x－y)．
∴③④正确． 答案：B
7．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面( )
A．各正三角形内任一点 B．各正三角形的某高线上的点 C．各正三角形的中心 D．各正三角形外的某点
解析：正三角形的边对应正四面体的面(侧面)，所以边的中点对应正四面体的各正三角形的中心．
答案：C
2
8．用数学归纳法证明不等式“
11113＋＋…＋>(n>2)”的过程中，归纳递推由n＋1n＋22n24
n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边( )
1
A．增加了一项
2?k＋1?11
B．增加了两项＋
2k＋12?k＋1?
111
C．增加了两项＋，又减少了一项
2k＋12?k＋1?k＋111
D．增加了一项，又减少了一项
2?k＋1?k＋1解析：当n＝k时，不等式的左边为当n＝k＋1时，不等式的左边为
111
＋＋…＋， k＋1k＋22k11111＋＋…＋＋＋， k＋2k＋32k2k＋12k＋2
1
，增加了两项k＋1
对比两个式子，可知由n＝k到n＝k＋1，不等式的左边减少了一项11＋，故选C. 2k＋12k＋2
答案：C
9．若P＝ a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P，Q的大小关系是( ) A．P＞Q C．P＜Q
2
2
B．P＝Q
D.由a的取值范围决定
解析：∵P－Q＝2a?a＋7?－2?a＋3??a＋4?＝ 2a＋7a－2a＋7a＋12＜0，∴P＜Q. 答案：C
10．(2019·成都外国语学校高二考)将石子摆成如图所示的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a2 016－5＝( )
2
2
A．2 018×2 014 C．1 010×2 012
B．2 018×2 013 D.1 011×2 015
解析：an－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n＋2个． ?n－1??n＋6?∴an－5＝，
2
3
∴a2 016－5 ＝
2 015×2 022
2
＝2 015×1 011. 答案：D
11－b－a11．用反证法证明：若a≥b＞0，则＋2≤＋2的假设为( )
ab1－a1－bA.＋2＜＋2
aabb11－a－bB．＋2≥＋2
ab1－a1－bC.＋2＞＋2 答案：C
11－b－aD.＋2≤＋2
ab12．设函数f′n(x)是fn(x)的导函数，f0(x)＝e(cos x＋sin x)，f1(x)＝＝
xf′0?x?
2
，f2(x)
f′1?x?
2
，…，fn＋1(x)＝xf′n?x?
2
(n∈N)，则f2 018(x)＝( )
B．e(cos x－sin x) D.－e(cos x－sin x)
xx*
A．e(cos x＋sin x) C．－e(cos x＋sin x)
解析：∵f0(x)＝e(cos x＋sin x)，
xx∴f′0(x)＝e(cos x＋sin x)＋e(－sin x＋cos x)＝2ecos x， ∴f1(x)＝
xxxf′0?x?
2
＝2ecos x，
x∴f′1(x)＝2e(cos x－sin x)， ∴f2(x)＝
xf′1?x?
2
x＝e(cos x－sin x)，
xxx∴f′2(x)＝e(cos x－sin x)＋e(－sin x－cos x)＝－2esin x， ∴f3(x)＝－2esin x，
∴f′3(x)＝－2e(sin x＋cos x)， ∴f4(x)＝－e(cos x＋sin x)， ∴f′4(x)＝－2ecos x， ∴f5(x)＝－2ecos x， ∴f6(x)＝－e(cos x－sin x)， ∴f7(x)＝2esin x， ∴f8(x)＝e(cos x＋sin x)， …
xxxxxxxx 4
故周期T＝8，
∴f2 018(x)＝f2(x)＝e(cos x－sin x)，故选B. 答案：B
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制(分为A，B，C三个层次)，得A的同学直接进入第二轮考试．从评委处得知，三名同学中只有一人获得A.三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下：
甲说：看丙的状态，他只能得B或C； 乙说：我肯定得A；
丙说：今天我的确没有发挥好，我赞同甲的预测．
事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得A的同学是________． 解析：由甲与丙的观点一致，而三人中，只有一人预测不准确，故而甲、丙预测准确，而乙预测不准确，所以得A的同学为甲．
答案：甲
14．已知圆的方程是x＋y＝r，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r.
2
2
2
2
xx2y2
类比上述性质，可以得到椭圆2＋2＝1
ab类似的性质为
____________________________________________________________________
________________________________________________________________.
解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与yx2y2x2
分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆2＋2＝1类似的性质为：经过椭圆2＋
abay2x0xy0y2＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为2＋2＝1. babx2y2x0xy0y答案：经过椭圆2＋2＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为2＋2＝1
abab15．如图所示，坐标系上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N)的前12项，如下表所示：
*
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 5
新人教A版选修2 - 22020学年高中数学第2章推理与证明阶段性测试题二
