（1）设P（x,y）,M（x）, uNPuur??x?xuuuur0,y0）,设N（x0,00,y?,NM??0,y0?
由NPuuur?2uNMuuur得x0=x,y0?22y 因为M（x0,y0）在C上，所以x2y22?2?1
因此点P的轨迹方程为x2?y2?2
（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P(m,n),则
uOQuur???3,t?,uPFuur???1?m,?n?,uOQuurguPFuur?3?3m?tn， uOPuur??m,n?,uPQuur???3?m,t?n?,
由OPuuurgPQuuur?1得-3m?m2?tn?n2?1，又由（1）知m2+n2=2，故 3+3m-tn=0
所以uOQuurguPFuur?0，即uOQuur?uPFuur.学.科网又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ
的直线l过C的左焦点F. 21.解：
（1）f?x?的定义域为?0，+?? 设g?x?=ax-a-lnx，则f?x?=xg?x?,f?x??0等价于g?x??0 因为g?1?=0，g?x??0,故g'?1?=0,而g'?x??a?1x,g'?1?=a?1,得a?1 若a=1，则g'?x?=1?1x.当0＜x＜1时，g'?x?＜0,g?x?单调递减；当x＞1时，g'?x?＞0，g?x?单调递增.所以x=1是g?x?的极小值点，故g?x??g?1?=0 综上，a=1
（2）由（1）知f?x??x2?x?xlnx,f'(x)?2x?2?lnx
设h?x??2x?2?lnx,则h'(x)?2?1x
当x???0,1?h'?2??时，?x?＜0；当x???1,+???时，h'?x?＞0，所以h?x?在??0,1??单调递减，在??1,+???2??2??2??单调递增
又h?e?2?＞0,h??1??＜0,h?1??0，所以h?x?在??0,1??有唯一零点x?1??2?2?0，在?,+??2?有唯一零点1，且当
??x??0,x0?时，h?x?＞0；当x??x0,1?时，h?x?＜0，当x??1,+??时，h?x?＞0.
因为f'?x??h?x?，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点 由f'?x0??0得lnx0?2(x0?1),故f?x0?=x0(1?x0) 由x10??0,1?得f'?x0?＜4 因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由e?1??0,1?,f'?e?1??0得
f?x???20?＞fe?1?e
所以e?2＜f?x0?＜2-2
22.解： （1）设P的极坐标为??，????＞0?，M的极坐标为??1，????1＞0?，由题设知
OP=?，OM=?41=cos? 由OMgOP=16得C2的极坐标方程?=4cos???＞0? 2因此C22的直角坐标方程为
?x?2??y?4?x?0?
（2）设点B的极坐标为??B，????B＞0?,由题设知
OA=2，?B=4cos?,于是△OAB面积
S=1OAg?Bgsin?AOB2????4cos?gsin????3?????3?2sin?2????3?2??2?当?=-?12
3时，S取得最大值2+3
所以△OAB面积的最大值为2+3 23.解： （1）
?a?b??a5?b5?a6?ab5?a5b?b6?a?b??33?2?2a3b3?aba4?b42??
?4?aba?b?4（2）因为
?2?2?a?b??a3?3a2b?3ab2?b33?2?3ab?a+b??2+所以a+b
3?a+b?42?a+b??2?3?a+b?43
??3?8，因此a+b≤2.
2017全国2卷 - 理科数学--高考试题（含答案）8k
