2017年普通高等学校招生全国统一考试课标II理科数学
一、选择题
1.3?i1?i?（ ） A．1?2i B．1?2i C．2?i D．2?i
2.设集合???1,2,4?，???xx2?4x?m?0?．若?I???1?，则??（ ）
A．?1,?3? B．?1,0? C．?1,3? D．?1,5?
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）
A． 90? B．63? C．42? D．36?
?2x?3y?3?05.设x，y满足约束条件??2x?3y?3?0，则z?2x?y的最小值是（ ）
??y?3?0A．?15 B．?9 C．1 D．9
6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学 科&网给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的a??1，则输出的S?（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9.若双曲线C:x2y22a2?b2?1（a?0，b?0）的一条渐近线被圆?x?2??y2?4所截得的弦长为2，
则C的离心率为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．233 10.已知直三棱柱??C??1?1C1中，???C?120o，???2，
?C?CC1?1，则异面直线??1与?C1所成角的余弦值为（ ） A．32 B．155 C．105 D．33
11.若x??2是函数f(x)?(x2?ax?1)ex?1`的极值点，则f(x)的极小值为（ ）
A.?1 B.?2e?3 C.5e?3 D.1
12.已知?ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PAuuur?(PBuuur?PCuuur)的最小值是（ ）A.?2 B.?342 C. ?3 D.?1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，?表示抽到的二等品件数，则D?? ． 14.函数f?x??sin2x?3cosx?34（x????0,??2??）的最大值是 ． ?的前n项和为Sn，a3?3，S4?10，则
?n15.等差数列?a1n? ． k?1Sk16.已知F是抛物线C:y2?8x的焦点，?是C上一点，F?的延长线交y轴于点?．若?为F?的中点，则F?? ．
三、解答题：共70分。（一）必考题：共60分。
17.（12分）?ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知sin(A?C)?2sin2B2， （1）求cosB；
（2）若a?c?6，?ABC的面积为2，求b．
18.（12分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取
了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：
（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法
的箱产量不低于50kg,估计A的概率；
（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法
（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
P（错误！未找到引用源。） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 2?n(ad?bc)2K(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，
AB?BC?12AD,?BAD??ABC?90o, E是PD的中点. （1）证明：直线CE// 平面PAB
（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为45o ，求二面角M-AB-D的余弦值
20. （12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22?y2?1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足uNPuur?2uNMuuur.
(1) 求点P的轨迹方程；
设点Q在直线x=-3上，且uOPuur?uPQuur?1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
21.（12分）已知函数f?x??ax2?ax?xlnx，且f?x??0。(1)求a；
(2)证明：f?x?存在唯一的极大值点x?20，且e?f?x0??2?2.
2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题答案
一、选择题
1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D 7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题
13. 1.96 14. 1 15. 2nn?1 16. 6
三、解答题 17.解：
（1）由题设及A?B?C??得sinB?8sin2?2，故
sinB?（41-cosB） 上式两边平方，整理得 17cos2B-32cosB+15=0 解得 cosB=1（舍去），cosB=1517 （2）由cosB=1517得sinB?817，故S14?ABC?2acsinB?17ac 又S，则ac?17?ABC=22
由余弦定理学 科&网及a?c?6得
b2?a2?c2?2accosB?（a+c）2?2ac(1?cosB)?36?2?1715 2?(1?17)?4所以b=2 18.解：
（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg” ，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg” 由题意知 P?A??P?BC??P?B?P?C? 旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为
（0.040?0.034?0.024?0.014?0.012）?5=0.62
故P?B?的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为
（0.068?0.046?0.010?0.008）?5=0.66
故P?C?的估计值为0.66
因此，事件A的概率估计值为0.62?0.66?0.4092
（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量?50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 K2?200??62?66?34?38?2100?100?96?104?15.705
由于15.705?6.635
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为
?0.004?0.020?0.044??5?0.34?0.5，
箱产量低于55kg的直方图面积为
?0.004?0.020?0.044+0.068??5?0.68?0.5
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
50+0.5-0.340.068≈52.35（kg）． 19.解：
（1）取PA中点F，连结EF，BF．
因为E为PD的中点，所以EFPAD,EF=12AD,由?BAD??ABC?90?得BC∥AD，又BC?12AD 所以EF∥BC．四边形BCEF为平行四边形， CE∥BF． 又BF?平面PAB，CE?平面PAB，故CE∥平面PAB
（2）
由已知得BA?AD,以A为坐标原点，uABuur的方向为x轴正方向，uABuur
为单位长，建立如图所示的空
间直角坐标系A-xyz,则
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，3)， uPCuur?(1，0，?3),uABuur?(1，0，0)则
uBMuuur?(x?1，y，z),uPMuuur?(x，y?1，z?3)
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而n?(0，0，1)是底面ABCD的法向量，所以 cosuBMuuur,n?sin450，z(x?1)2?y2?z2?22 即（x-1）2+y2-z2=0
又M在棱PC上，学|科网设uPMuuur??uPCuur,则 x??,y?1,z?3?3?
???2?x=1+2?2??x=1-2由①，②得?y=1(舍去)，??y=1??z?6?6
????2??z?2
所以M???1-22,1，6?2??，从而uAMuuur???26????1-,1，?
?22??设m=?x0,y0,z0?是平面ABM的法向量，则
?uuuur???mgAMr?0即??2-2??x0?2y0?6z0?0?uuu?mgAB?0?
?x0?0所以可取m=（0，-6，2）.于是cosm,n?mgn10mn?5 因此二面角M-AB-D的余弦值为105 20.解
2017全国2卷 - 理科数学--高考试题（含答案）8k
