2024年中考数学压轴题（江苏版）
专题02 二次函数与面积的最值定值问题
【真题再现】
1．（2024年常州27题）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上． （1）b＝ 2 ；
（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△
QRB，求点
P的坐标．
【分析】（1）把点A坐标代入二次函数解析式即求得b的值．
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（2）求点B、C、D坐标，求直线BC、BD解析式．设点P横坐标为t，则能用t表示点P、M、N、H的坐标，进而用含t的式子表示PM、MN、NH的长．以PM＝MN为等量关系列得关于t的方程，求得t的值合理（满足P在第一象限），故存在满足条件的点P，且求得点P坐标．
（3）过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E，根据同角的余角相等易证∠EPQ＝∠OBD，所以cos∠EPQ＝cos∠OBD=
2√52√5????2√5????2√5，即在Rt△PQE中，cos∠EPQ==；在Rt△PFR中，cos∠RPF==，5????5????5√5进而得PQ=5PE，PR=2PF．设点P横坐标为t，可用t表示PE、PF，即得到用t表示PQ、PR．又由S△PQB＝2S△QRB易得PQ＝2QR．要对点P位置进行分类讨论得到PQ与PR的关系，即列得关于t的方程．求得t的值要注意是否符合各种情况下t的取值范围．
【解析】（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0） ∴﹣1﹣b+3＝0 解得：b＝2 故答案为：2．
（2）存在满足条件呢的点P，使得PM＝MN＝NH． ∵二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3 当x＝0时y＝3， ∴C（0，3）
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0 解得：x1＝﹣1，x2＝3 ∴A（﹣1，0），B（3，0） ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3 ∵点D为OC的中点， ∴D（0，）
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∴直线BD的解析式为y=?1??+322，
设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t+3），N（t，?1t+322），H（t，0）
∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，MN＝﹣t+3﹣（?1
2x+3
1
3
1
3
2）=?2t+2，NH=?2t+2 ∴MN＝NH ∵PM＝MN ∴﹣t2+3t=?1
3
2t+2
解得：t1=1
2，t2＝3（舍去） ∴P（1
152，
4）
∴P的坐标为（1，152
4
），使得PM＝MN＝NH．
（3）过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E
∵OB＝3，OD=3
2，∠BOD＝90° ∴BD=√????2+????2=3√52 ∴cos∠OBD=
????3????=2√53√25=5 ∵PQ⊥BD于点Q，PF⊥x轴于点F ∴∠PQE＝∠BQR＝∠PFR＝90° ∴∠PRF+∠OBD＝∠PRF+∠EPQ＝90°
∴∠EPQ＝∠OBD，即cos∠EPQ＝cos∠OBD=2√55 在Rt△PQE中，cos∠EPQ=????2√5????=5
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中考数学压轴题分类试卷(2024江苏版)专题02 二次函数与面积的最值定值问题
