函数的定义域与值域的常用方法
（一）求函数的解析式
1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0；
2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有：
（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。 （2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；
（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；
（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；
（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。 （二）求函数定义域
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；
2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；
3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；
4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域； 5、分段函数的定义域是各个区间的并集；
6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；
7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域； （三）求函数的值域
1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；
2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”； 3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；
4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述； 5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；
6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；
（四）求函数的最值
1、设函数y＝f（x）定义域为A，则当x∈A时总有f（x）≤f（xo）＝M，则称当x＝xo时f（x）取最大值M；当x∈A时总有f（x）≥f（x1）＝N，则称当x＝x1时f（x）取最小值N； 2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题； 3、闭区间的连续函数必有最值。
【典型例题】 考点一：求函数解析式
1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。 例1. 已知函数y＝f（x）满足xy＜0，4x2－9y2＝36，求该函数解析式。 解：由4x2－9y2＝36可解得：
?2x2?9,x? 3??2x2?9?3y????3?2x2?9 ,x??3?3?。
2x2?9y??3说明：这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成的形式。
2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。
例2. 已知在一定条件下，某段河流的水流量y与该段河流的平均深度x成反比，又测得该段河流某段平均水深为2m时，水流量为340m3/s，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。
y?
解：设
k780y?,x?0x，代入x，y的值可求得反比例系数k＝780m3/s，故所求函数关系式为x。
3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
x?1x2?x?1f()?xx2例3. 已知，试求f(x)。
t?解：设
x?11x?22x，则t?1，代入条件式可得：f(t)?t?t?1，t≠1。故得：f(x)?x?x?1,x?1。
说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。
4、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联
立求解。
1f(x)?2f()?3x2?4x?5x例4. （1）已知，试求f(x)；
2f(x)?2f(?x)?3x?4x?5，试求f(x)； （2）已知
1111f()?2f(x)?32?4?5xxx解：（1）由条件式，以x代x，则得，与条件式联立，消去
?1?f???x?，则得：
f?x??284x52??x??x23x33。
2f??x?（2）由条件式，以－x代x则得：f(?x)?2f(x)?3x?4x?5，与条件式联立，消去，则得：
f?x??x2?4x?53。
说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。
5、实际问题中的函数解析式：这是高考的一个热点题型，一般难度不大，所涉及知识点也不多，关键是合理设置变量，建立等量关系。
例5. 动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点B出发，顺次经过C、D再到A停止。设x表示P行驶的路程，y表示PA的长，求y关于x的函数。
解：由题意知：当x∈［0，1］时：y＝x；
2y?x?1； 当x∈（1，2）时：
当x∈（2，3）时：故综上所述，有
y??3?x?2?1；
?x, x??0,1???y??x2?1, x?(1,2]?23?x?1, x?(2,3]????
考点二：求函数定义域
1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。
y?x?2?例6. 求
x?3x?4的定义域。
??x?2?0??x?4，从而解得：x>－2且x≠±4.故所求定义域为：
解：由题意知：?{x|x>－2且x≠±4}。
2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。 例7. 已知函数由下表给出，求其定义域
X Y 1 22 2 3 3 14 4 35 5 －6 6 17 解：{1，2，3，4，5，6}。
3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f（u）的定义域可以确定内函数g（x）的范围，从而解得x∈I1，又由g（x）定义域可以解得x∈I2.则I1∩I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。
例8 已知f(x)?x?3,g(x)?xx?4x?32,求y?f(g(x))的定义域.
由f(x)?x?3?x?3?g(x)?3?解：
又由于x2－4x＋3>0 ** 联立*、**两式可解得：
xx?4x?32?3 ?
9?339?33?x?1或3?x?44?9?33??9?33?故所求定义域为?x|?x?1或3?x??44?? ??
例9. 若函数f（2x）的定义域是［－1，1］，求f（log2x）的定义域。
解：由f（2x）的定义域是［－1，1］可知：21≤2x≤2，所以f（x）的定义域为［21，2］，故log2x∈［2
－1
－
－
?2,4??。 2?x?4，2］，解得，故定义域为?4、求解含参数的函数的定义域：一般地，须对参数进行分类讨论，所求定义域随参数取值的不同而不同。
例10. 求函数f(x)?ax?1的定义域。
解：若a?0，则x∈R； 若a?0，则x??； 若a?0，则x??； 故所求函数的定义域：
当a?0时为R，当a?0时为?x|x???，当a?0时为?x|x???。
说明：此处求定义域是对参变量a进行分类讨论，最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式，必须根据a的不同取值范围分别论述。
考点三：求函数的值域与最值
求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。 1、分离变量法
1a1a??1?a???1?a?y?例11. 求函数
2x?3x?1的值域。
2x?32?x?1??111y???2??0x?1x?1x?1x?1解：，因为，故y≠2，所以值域为{y|y≠2}。
说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。
2、配方法
例12. 求函数y＝2x2＋4x的值域。
解：y＝2x2＋4x＝2（x2＋2x＋1）－2＝2（x＋1）2－2≥－2，故值域为{y|y≥－2}。
说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如y＝af2（x）＋bf（x）＋c。
3、判别式法
x2?2x?3例13. 求函数y?的值域。 24x?5x?6x2?2x?3y?24x?5x?6可变形为：解：（4y－1）x2＋（5y－2）x＋6y－3＝0，由Δ≥0可解得：
高中数学必修一专题：求函数的定义域与值域的常用方法
