垂径定理在解题中的应用 山东省东阿县第二中学 李浩明
垂径定理是圆的重要内容，在实际生活中有着广泛的应用. 在各地中考题中对垂径定理的考查频频出现，这类问题常常结合勾股定理来解决，现以中考题为例说明如下：
一、求半径
例1.高速公路的隧道和桥梁最多．图1是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA=（ ）
（A）5 （B）7 （C）37 （D）37
57C O D B
图1
析解：由垂径定理可知△AOD是直角三角形，解决本题关键是根据勾股定理列出方程.设半径OA=x米，则OD=CD－OC=7－x（米）.因为OD⊥AB,所以AD=AB=5（米）.在Rt△AOD中，因为AD2?OD2?OA2，所以52?(7?x)2?x2，解这个方程得：x?应选（D）. 二、求弦长
例2.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图2所示，则这个小孔的直径AB＿＿＿＿mm．
37.故712A DA B 8mm
AOCB 图图2
析解：要求小孔的直径AB，关键是根据垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理来解决.如图3，设圆心为O，连接OA,过点O作OC⊥AB,交劣弧于D，C为垂足，则AC=CB，OA=OD=?10?5mm，OC=8－5=3mm，在Rt△AOC中，AC=OA2?OC2?52?32?4，所以AB=2AC=2×4=8(mm).
三、求弦心距
例3.如图4，O的半径为5，弦AB?8，OC?AB于C，则OC的长等于 ．
OACB12图4
析解：连接OA,因为OC?AB于C，所以由垂径定理可得AC=
11AB??8?422.在Rt△AOC中，由勾股定理可得
OC=OA2?AC2?52?42?3.
四、求拱高
例4.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图5所示，已知AB=16m，半径 OA=10m，高度CD为_____m．
CADOB 图5
11析解：由垂径定理可得AD=AB??16?8.在Rt△AOC中，
22OD=OA2?AD2?102?82?6,所以CD=OC－OD=10－6=4(m).
五、求角度
例5.如图6，在⊙O中，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠AOC=60o，则∠B= ．
D A C O B 图6
析解：因为CD⊥AB，AB为直径，所以由垂径定理可知AD?AC，利用“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”定理可得：∠B=?AOC=?60??30?.
六、探究线段的最小值
例6.如图7，⊙O的半径OA=10cm，弦AB=16cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为 cm．
1212OACPB图
2010中考数学一轮复习垂径定理在解题中的应用
