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一元二次方程重难点 知识导航
一．一元二次方程的定义
二．有关一元二次方程根的考查（根与系数的关系及两方程公共根问题） 三．一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法） 四．含绝对值的一元二次方程 五．根的判别式及韦达定理
①根与系数的关系——对方程根的个数的判别
②利用判别式解参数取值围——含参变量的一元二次方程 ③通过判别式，证明方程根的个数问题
④利用韦达定理求代数式的值（x1?x2,x1x2,x1?x2,⑤利用韦达定理求参数的值 五．一元二次方程整数根问题 六．一元二次方程的应用
112?,x1?x22等） x1x2 基础学习
一．一元二次方程的定义
定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 关于一元二次方程的定义考查点有三个：①二次项系数不为0；②最高次数为2；③整式方程 一般形式：ax2?bx?c?0(a?0)，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
二．有关一元二次方程根的考查（根与系数的关系及两方程公共根问题）
关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。（将根代入方程，这是很多同学都容易忽略的一个条件） 1.与根有关的代数式化简求值
【例】已知x是一元二次方程x+3x-1=0的实数根，求代数式：值．
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2
x?35的
?(x?2?)3x2?6xx?2.
a2?4122
?)?2【巩固】先化简，再求值：(2，其中a是方程x+3x+1=0的根．
a?4a?42?aa?2
2.公共解问题
【思考】已知两个二次方程x+ax+b=0与x+cx+d=0有一个公共根为1，求证：二次方程
2
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x2?
a?cb?dx??0也有一个根为1． 22【例1】一元二次方程x?2x?
2
592
＝0的某个根，也是一元二次方程x?(k+2)x+＝0的44根，求k的值．
【巩固】当k为何值时，方程x-（k+2）x+12=0和方程2x-（3k+1）x+30=0有一公共根？求出此公共根．
【变式1】若两个不同的关于x的方程x+x+a=0与x+ax+1=0有一个共同的实数根，求a的值及这两个方程的公共实数根．
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【变式2】已知a＞2，b＞2，试判断关于x的方程x-（a+b）x+ab=0与x-abx+（a+b）=0有没有公共根．请说明理由．
【拓展1】已知：关于x的方程ax+bx+c=0，bx+cx+a=0，cx+ax+b=0有一个相同的实数根，且a?b?c≠0，求a+b+c的值
【拓展2】设a，b，c为△ABC的三边，且二次三项式x+2ax+b与x+2cx-b有一个公因式，证明：△ABC一定是直角三角形．
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三．一元二次方程的解法及求根公式（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）
【例1】解方程：
（1）2x2?43x?62?0． （2）（3x+1）（2x-5）=-2（2x-5）
（3）
x?154
??2x?1x?1x?1 （4）
4x22
?1??x2?9x?3x?3
（7）x+2
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x?8＝0 （2）x+x?4?6＝0
一元二次方程重难点
