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机械优化设计习题及参考答案
1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。
答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量x??x1x2Lxn?使 f(x)?min 且满足约束条件
hk(x)?0gj(x)?0T(k?1,2,Ll) (j?1,2,Lm)
2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？
答：二元函数f(x1,x2)在x0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式：??f?f??f?f??cos?1? ?cos?1?cos?2??????x2xo?dxo?x1xo??x1?x2?xo?cos?2??f?f?f?T令?f(x0)?[?x1]????x1?x2?xo， ?f???x2?f则称它为函数f（x1，x2）在x0点处的梯度。
（1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。 （2）梯度与切线方向d垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度?f(x0)方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。负梯度-?f(x0)方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。
2-2.求二元函数f（x1，x2）=2x12+x22-2x1+x2在x0?[0,0]T处函数变化率最
大的方向和数值。
解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p
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表示，函数变化率最大和数值时梯度的模?f(x0)。求f（x1，x2）在x0点处的梯度方向和数值，计算如下：
??f???x1??4x1?2???2??f?x0?????x0??1? ?f??2x2?1????????x2???f?2??f?2?f(x0)??????=5
?x1?x2??????2??2??1??????f(x0)??5p?????
1?f(x0)5????5??
22-3.试求目标函数f?x1,x2??3x12?4x1x2?x2在点X0=[1,0]T 处的最速下降
方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。 解：求目标函数的偏导数
?f?f?6x1?4x2,??4x1?2x2 ?x1?x2则函数在X0=[1,0]T处的最速下降方向是
??f???x???6x1?4x2???6?0P???f(X)???1???? ????fx?1???4x1?2x2?x12?0?4??1?1??x2??xx2?0这个方向上的单位向量是：
P[?6,4]T[?3,2]Te??? 22P13(?6)?4新点是
3??1???1013X?X?e??? 2????13??新点的目标函数值
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f(X1)?94?213 132-4.何谓凸集、凸函数、凸规划？（要求配图）
答：一个点集（或区域），如果连接其中任意两点x1、x2的线段都全部包含在该集合内，就称该点集为凸集，否则为非凸集。
函数f(x）为凸集定义域内的函数，若对任何的0???1及凸集域内
的任意两点x1、x2，存在如下不等式：
f???x1??1???x2????f?x1???1???x2称f（x）是定义在图集上的一个凸函数。
对于约束优化问题
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若f(x)、g（jx） j=1,2,...,m 都是凸函数，则称此问题为凸规划。
3-1.简述一维搜索区间消去法原理。（要配图）
答：搜索区间（a，b）确定之后，采用区间逐步缩短搜索区间，从而找到极小点的数值近似解。假设搜索区间（a，b）内任取两点a1，b1 ，a1《b1，并计算函数值f（a1），f（b1）。将有下列三种可能情形； 1）f（a1）《f（b1）由于函数为单谷，所以极小点必在区间（a，b1）内 2）f（a1）》f（b1），同理，极小点应在区间（a1，b）内 3）f（a1）=f（b1），这是极小点应在（a1，b1）内
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3-2.简述黄金分割法搜索过程及程序框图。
?1?b??(b?a) ?2?a??(b?a)
其中，?为待定常数。
3-3.对函数f(?)??2?2?，当给定搜索区间?5???5时，写出用黄金
分割法求极小点??的前三次搜索过程。（要列表） 序号 0 1 2 3
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a -5 -5 ？ -2.639 黄金分割法的搜索过程 b a1 a2 Y1 -1.18 1.18 5 -0.9676 -2.639 -1.181 ？ 1.686 -1.18 -0.279 1.18 -0.9676 -1.737 -1.181 ？ -0.457 比较 < > < > Y2 3.7524 -0.967 -0.48 -0.482
《机械优化设计》习题及答案
