（I）由已知条件，可得?BAE??CAD
因为?AEB与?ACB是同弧上的圆周角，所以?AEB=?ACD 故?ABE∽?ADC
ABAD，即AB?AC?AD?AE ?AEAC11又S?AB?ACsin?BAC，且S?AD?AE,故AB?ACsin?BAC?AD?AE
22则sin?BAC?1,又?BAC为三角形内角，所以?BAC=90°
(II)因为?ABE∽?ADC，所以
16、（2011，海南，宁夏文22）
如图，D，E分别为?ABC的边AB，AC上的点，且不与
?ABC的顶点重合。已知AE的长为m，AC的长为n，AD,AB的
长是关于x的方程x2?14x?mn?0的两个根。
（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；
（Ⅱ）若?A?90?，且m?4,n?6，求C，B，D，E所在圆的半径。 解析：
（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中， AD×AB=mn=AE×AC, 即
ADAE.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB ?ACAB因此∠ADE=∠ACB 所以C,B,D,E四点共圆。
（Ⅱ）m=4, n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12. 故 AD=2，AB=12.
取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.
由于∠A=900，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= 故C,B,D,E四点所在圆的半径为52 17、（2011，江苏文21-A）
如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1?r2)，
1(12-2)=5. 2圆O1的弦AB交圆O2于点C（O1不在AB上）， 求证：AB:AC为定值。 解析：
由弦切角定理可得?AO2C∽?AO1B,?ABO1Br1?? ACO2Cr18、（2011，辽宁文22）
如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED。
（I）证明：CD//AB；
（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆。
解：（I）因为EC=ED， 所以∠EDC=∠ECD
因为A，B，C，D四点在同一圆上， 所以∠EDC=∠EBA 故∠ECD=∠EBA， 所以CD∥AB
（Ⅱ）由（I）知，AE=BE， 因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC
连接AF，BG，△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE 又CD∥AB，∠FAB=∠GBA， 所以∠AFG+∠GBA=180° 故A，B．G，F四点共圆
几何证明选讲(理科)（三十九中整理）
1．（2007，广东理15）如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3。过C作圆
的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则∠DAC= ，线段AE的长为 。
答案：30°；3
解析：连结OC，则OC//AD，CB=OB=OC， ∴∠COB=∠EAO=60°， ∠CAO=30°， ∴∠DAC=30°； Rt△AEB≌Rt△BCA， ∴BC=AE=3。
2．（2008，广东理15）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R= 。
答案：3 解析：作出图如下。
由切割线定理得PA=PB·PC，∴PC=4，
2
?AC?23,?R?3.故填3. 3．（2009，广东理15）如图，点A，B，C是圆O上的点，
且AB?4,?ACB?45?，则圆O的面积等于 解析：解法一：连结OA、OB，则?AOB?900，
∵AB?4，OA?OB，∴OA?22，则S圆???(22)2?8?； 解法二：2R?
4．(2010，天津理14)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点
P。若
42S???(22)?8?. ，?42?R?22圆0sin45PB1PC1BC的值为 。 ?，?，则
PA2PD3AD答案：6 6解析：因为ABCD四点共圆，所以∠DAB?∠PCB，
∠CDA=∠PBC，因为∠P为公共角，所以?PBC∽?PDA，所以
xy6yPBPCBC，设PB=x，PC=y，则有，即x?，所以???2PDPAAD3y2x6BCx=。 ?6AD3y5. (2010，湖南理10)如图1所示，过圆O外一点P作一条
直线与圆O交于A，B两点，已知PA＝2，点P到圆O 的切线长PT ＝4，则弦AB的长为________. 答案：6
解析：根据切线长定理
T O P A 图1
PT2162PT?PA?PB,PB???8
PA2所以AB?PB?PA?8?2?6
B
6．（2010，广东理14）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=
2a，∠OAP=30°，则CP＝______ 3答案：a 解析：因为点P是AB在Rt?OPA中，定理知，
的中点，由垂径定理知， OP?AB.
98BP?AP?acos30?3a.由相交线2BP?AP?CP?DP，即
3329a?a?CP?a，所以CP?a． 22387．（2010,北京理科12）如图，圆O的弦ED，CB的延长线交于点A。若BD?AE，AB＝4, BC＝2, AD＝3,则DE＝ ；CE＝ 。
答案：5; 27
解析：首先由割线定理不难知道AB?AC?AD?AE，于是AE?8,DE?5， 又BD?AE，故BE为直径，因此?C?90?，由勾股定理可知
CE2?AE2?AC2?28，故
CE?27.
8．（2007,海南、宁夏理22A）如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点。
（1）证明A，P，O，M四点共圆； （2）求∠OAM+∠APM的大小。 解析：（1）连结OP、OM。
因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP。因为M是⊙O的弦BC的中点， 所以OM⊥BC。于是∠OPA+∠OMA=180°，由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆。
（2）由（1）得A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM=∠OPM。由（1）得OP⊥AP。由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM+∠APM=90°，所以∠OAM+∠APM=90
9．（2008，江苏理21A）如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，
∠BAC的平分线与BC交于点D。 求证：ED2=EC·EB。
解析：因为AE是圆的切线，所以∠ABC=∠CAE。又因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD，从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD。因为∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠DAE=∠CAE+∠CAD，所以∠ADE=∠DAE，故EA=ED。因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知，EA2=EC·EB。而EA=ED，所以ED2=EC·EB。
10．（2008，宁夏、海南理22）如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过
A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P。 （1）证明：OM·OP=OA2；
（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点。过B点的切线交
直线ON于K。证明：∠OKM=90°。
解析：（1）证明：因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM。又因为AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，OA2=OM·OP。
（2）证明：因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同（1），
有OB2=ON·OK，又OB=OA， 所以OP·OM=ON·OK，即
ONOM?.又∠NOP=∠MOK， OPOK所以△ONP∽△OMK， 故∠OKM=∠OPN=90°
11.（2009，海南宁夏理22） 如图，已知?ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，
?B?60?，F在AC上，且AE=AF。
（I）证明：B，D，H，E四点共圆； （Ⅱ）证明：CE平分?DEF.
解析：（Ⅰ）在△ABC中，因为∠=600，所以∠BAC+∠BCA=1200．
因为AD，CE是角平分线， 所以∠HAC+∠HCA=600， 故∠AHC=1200． 于是∠EHD=∠AHC=1200． 因为∠EBD+∠EHD=1800， 所以B、D、H、E四点共圆．
（Ⅱ）连结BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD?300，由（Ⅰ）知B、D、H、E四点共圆，所以∠CED=∠HBD=300．又∠AHE=∠EBD=600，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF=300．所以CE平分∠DEF．
12．（2009，辽宁理22）已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC的点（不与点A，C重合），延长BD至E。
湖北省武汉市东湖中学高三数学专题复习几何证明选讲
