1．（2007，广东文15）如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3。过C作圆
的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则∠DAC= ，线段AE的长为 。 答案：30°；3
解析：连结OC，则OC//AD，CB=OB=OC， ∴∠COB=∠EAO=60°， ∠CAO=30°， ∴∠DAC=30°； Rt△AEB≌Rt△BCA， ∴BC=AE=3。
2．（2008，广东文15）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R= 。
答案：3 解析：作出图如下。
由切割线定理得PA2=PB·PC，∴PC=4，
?AC?23,?R?3.故填3. 3．（2009，广东文15）如图，点A，B，C是圆O上的点，
且AB?4,?ACB?45?，则圆O的面积等于
解析：解法一：连结OA、OB，则?AOB?900，∵AB?4，OA?OB，∴
OA?22，则S圆???(22)2?8?；
解法二：2R?4?42?R?22，S圆???(22)2?8?. 0sin45PB1PC1BC则的?，?，
PA2PD3AD4．(2010，天津文14)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，
延长AB和DC相交于点P。若值为 。 答案：6 6解析：因为ABCD四点共圆，所以∠DAB?∠PCB，
∠CDA=∠PBC，因为∠P为公共角，所以?PBC∽?PDA，所以
xy6y6PBPCBCBCx，设PB=x，PC=y，则有，即x?，所以=。 ????
3y2x26PDPAADAD3y
5. (2010，湖南文10)如图1所示，过圆O外一点P作一条 直线与圆O交于A，B两点，已知PA＝2，点P到圆O 的切线长PT ＝4，则弦AB的长为________. 答案：6
解析：根据切线长定理
T O A 图1
P B
PT216PT?PA?PB,PB???8
PA22所以AB?PB?PA?8?2?6
6．（2010，广东文14）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=
2a，∠OAP=30°，则CP＝______ 3 答案：a 解析：因为点P是AB
的中点，由垂径定理知， OP?AB.
98在Rt?OPA中，BP?AP?acos30?3a.由相交线定理知， 2BP?AP?CP?DP，即
3329a?a?CP?a，所以CP?a． 22387．（2010,北京文12）如图，圆O的弦ED，CB的延长线交于点A。若BD?AE，AB＝4, BC＝2, AD＝3,则DE＝ ；CE＝ 。
答案：5; 27
解析：首先由割线定理不难知道AB?AC?AD?AE，于是AE?8,DE?5，
222又BD?AE，故BE为直径，因此?C?90?，由勾股定理可知CE?AE?AC?28，
故 CE?27.
8．（2007,海南、宁夏文22A）如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点。
（1）证明A，P，O，M四点共圆； （2）求∠OAM+∠APM的大小。
解析：（1）连结OP、OM。
因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP。因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC。于是∠OPA+∠OMA=180°，由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆。
（2）由（1）得A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM=∠OPM。由（1）
得OP⊥AP。由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM+∠APM=90°，所以∠OAM+∠APM=90
9．（2008，江苏文21A）如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E， ∠BAC的平分线与BC交于点D。 求证：ED2=EC·EB。
解析：因为AE是圆的切线，所以∠ABC=∠CAE。又因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD，从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD。因为∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠DAE=∠CAE+∠CAD，所以∠ADE=∠DAE，故EA=ED。因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知，EA2=EC·EB。而EA=ED，所以ED2=EC·EB。
10．（2008，宁夏、海南文22）如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过
A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P。 （1）证明：OM·OP=OA2；
（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点。过B点的切线交
直线ON于K。证明：∠OKM=90°。
解析：（1）证明：因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM。又因为AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，OA2=OM·OP。
（2）证明：因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同（1），有OB2=ON·OK，又OB=OA， 所以OP·OM=ON·OK，即
ONOM?.又∠NOP=∠MOK， OPOK所以△ONP∽△OMK， 故∠OKM=∠OPN=90°
11.（2009，海南宁夏文22） 如图，已知?ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，
?B?60?，F在AC上，且AE=AF
（I）证明：B，D，H，E四点共圆； （Ⅱ）证明：CE平分?DEF.
解析： （Ⅰ）在△ABC中，因为∠=600，所以∠BAC+∠BCA=1200． 因为AD，CE是角平分线， 所以∠HAC+∠HCA=600， 故∠AHC=1200． 于是∠EHD=∠AHC=1200． 因为∠EBD+∠EHD=1800， 所以B、D、H、E四点共圆．
（Ⅱ）连结BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠
HBD?300，由（Ⅰ）知B、D、H、E四点共圆，所以
∠CED=∠HBD=300．又∠AHE=∠EBD=600，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF=300．所以CE平分∠DEF．
12．（2009，辽宁文22）已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC的点（不与点A，C重合），延长BD至E。
（I）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（II）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2?3，求△ABC外接圆的面积。
解析：( I )如图，设F为AD延长线上一点。
∵A,B,C,D四点共圆 ∴?CDF??ABC
又AB=AC，所以?ABC??ACB
且?ADB??ACB,∴?ADB??CDF
对顶角?EDF??ADB,故?EDF??CDF 即AD的延长线平分?CDE
（II）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AH?BC。 连结OC，由题意?OAC??OCA?15?,?ACB?75?.
??OCH?60?
设圆半径为r，则r?3r?2?3,得r?2,外接圆面积为4?。 213．（2010，江苏文21）AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。
解析：（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC， 又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO， ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO， 所以∠DCO=300，∠DOC=600，
所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。 （方法二）证明：连结OD、BD。
因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。 因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=900。 又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA， 于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。 即2OB=OB+BC，得OB=BC。 故AB=2BC。
14. (2010，海南宁夏文22）如图，已经圆上的弧的延长线交于E点，证明：
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD； （Ⅱ）BC2=BF×CD。
（I）因为
,
，过C点的圆切线与BA
所以?BCD??ABC.
又因为EC与圆相切于点C，故?ACE??ABC， 所以?ACE??BCD.
（II）因为?ECB??CDB,?EBC??BCD, 所以?BDC∽?ECB，故 即BC2?BE?CD.
15．（2010，辽宁文22）
如图，?ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E （I）证明：?ABE∽?ADC （II）若?ABC的面积S?解析：
BCCD， ?BEBC1AD?AE，求?BAC的大小。 2
湖北省武汉市东湖中学高三数学专题复习几何证明选讲
