第3章习题解答
3.1 对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度：
(1)??x,y,z??Ax2?Bx?C； (2)??x,y,z??Axyz；
(3)???,?,z??A?2sin??B?z； (4)??r,?,???Ar2sin?cos?。
2解：已知空间的电位分布，由E????和?????/?0可以分别计算出电场强度和体电荷密度。
(1) E??????ex?2Ax?B? ????0?2???2A?0 (2) E??????Aexyz?eyxz?ezxy ????0?2??0 (3) E????????e?(2A?sin??Bz)?e?A?cos??ezB???
????Bz??Asin?????0?3Asin??? ??????(4) E???????er2Arsin?cos??e?Arcos?cos??e?Arsin??
????0?2????0?4Asin???Bz????0?2????0?6Asin?cos????Acos2?cos?Acos????
sin?sin??3.5 如题3.5图所示上下不对称的鼓形封闭曲面，其上均匀分布着密度为?S0的面电荷。
试求球心处的电位。 解：上顶面在球心产生的电位为
?1??S0?(d12?R12?d1)?S0(R?d1) 2?02?0下顶面在球心产生的电位为
?2??S0?22(d2?R2?d2)?S0(R?d2) 2?02?014π?0侧面在球心产生的电位为
?3???S0RS??S0S
4π?0R2式中S?4πR?2πR(R?d1)?2πR(R?d2)?2πR(d1?d2)。因此球心总电位为
???1??2??3??S0R ?03.6有??2?0和??5?0的两种介质分别分布在z?0和z?0的半无限大空间。已知z?0时，
E?ex20?ey10?ez50V/m。试求z?0时的D。
解：由电场切向分量连续的边界条件可得
E1t?E2t? z?0Dx?5?0?20Dy??5?0?10 D1n?D2n? z?0Dz?50
代入电场法向方向分量满足的边界条件可得 于是有
z?0D?ex100?0?ey50?0?ez50
3.9 如题3.9图所示，有一厚度为2d的无限大平面层，其中充满了密度为
πx??x???0cos的体电荷。若选择坐标原点为零电位参考点，试求平面层
d之内以及平面层以外各区域的电位和电场强度。
2?????2??2??2?d?2??0，即???2?2?2?2。设各区域中的电位和电场强度分别为解：由对称性可知
?x?y?zdx?y?z????1，?2，?3和E1，E2，E3。由电位所满足的微分方程
d2?3?0d2?2d2?1?πx???cos?? ?0 2?0 2dx2?ddxdx??解得
d?3?dd?1d?2?πx??C3 ??0sin???C1 ?C2
dx?π?d?dxdx?0d2?πx??1?cos???C1x?D1 ?2?C2x?D2 ?3?C3x?D3
?π2?d?由于理想介质分界面没有面电荷，所以边界条件为
x?d时 ?1??2 ?d?1d?2 ??0dxdxd?3d? x??d时 ?1??3 ?1??0dxdx又根据对称性可知，在x?0的平面上，电场强度是为零的，即x?0时，使得x?0时，?1?0??0。联立解得
d?1?0。最后再选择零电位参考点dx2?0d2?0d2C1?C2?C3?0 D1?? D2?D3??。 22?π?π只要利用E??????exd?就可以得到 dx2?0d2d?3 x??d时， ?3??E??e?0 3x2?πdx2?0d2?0dd?1?πx??0d?πx?cos?E??e?esin?d?x?d时 ?1? 1xx???? 2?π2dx?π?d??π?d?d?22?0d2E??e?0 x?d时， ?2??2x2?πdx? 选择不同的零电位参考点，得到的电位不同，但电场强度仍是相同的。 ? 根据对称性只需求出x?0的解，即?1和?2??3。
3.10 位于x?0和x?d处的两个无限大导电平面间充满了???0?1?xd?的体电荷。若将x?0处的导电平
板接地，而将x?d处的导电平板加上电压U0。试求板间的电位分布及电场强度为零的位置。
解：由于无限大导体极板之间电荷分布是只与x有关，忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与x有关，且满足
一维泊松方程
?0d2?x??(1?) 2dx?0d其通解为
?(x)???03?02x?x?C1x?C2 6?0d2?0U02?0d ?d3?0由?(0)?0 ? C2?0 而由?(d)?U0 ? C1?因此板间电位分布为
?(x)??板间电场强度为
?03?02?U02?0d?x?x????x 6?0d2?03?0??d???U2?d?E?????ex?0x2?0x?(0?0)?
?0d3?0??2?0d从该式可以求出电场强度为零的位置为
?0?02?0U02?0d???4(?)22??2?dd3?2?U2?d?b?b?4ac0000x?? ??d?d1?0(0?0)
?02a?0dd3?0?0d由于我们是讨论极板内电场强度，因此零点位置为
x??d?d1?2?0U02?0d(?) ?0dd3?03.11 如题3.11图所示的平板电容器中，分别以两种不同的方式填充两种不同的介质?1和?2。当两极板之间外
加电压U0时，试求电容器中电位和电场的分布以及电容器的电容。
解：对于图a：忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与x有关，均满足一维拉普拉斯方程。且由介质分界面的
边界条件可知，两种介质中的电位分布是相同的，其通解为
??Cx?D
根据已知条件?x?0?0和?x?2d?U0，解得D?0和
U0，即平板电容器中的电位分布为 2dU??0x
2d根据E????，可以得到平板电容器中的电场分布为
Ud?E??????ex??ex0
dx2d对x?0平板上en?ex，面电荷密度分别为 C?U0??? y?S上??12d?S?en?D?en?? E??
U???0 y?S2下?2d???总电量为
Q???1
U0US?S??20S????1??2?U0 2d2d2d
电容器的电容为
C?QU0???1??2?S 2d对于图b：忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与x有关，均满足一维拉普拉斯方程。两种介质中的电位分布的通解可以分别设为
?1?C1x?D1 和 ?2?C2x?D2
根据已知条件?1x?0?0和?2以解得
x?2d?U0，以及分界面处的边界条件?1x?d??2x?d和
??1?x?x?d??2?x可
x?d?1??2U0x?Ux?d?U0 和 ?2?20?1??2d?1??2d根据E????，可以得到平板电容器中两种介质中的电场分布为
E1????1??exd?1?2U0d?2?1U0??ex??ex 和 E2????2??ex dx?1??2ddx?1??2d对x?0平板上en?ex，面电荷密度为
?S?en?D?en???1 E???ex总电量为 Q??S?2S??电容器的电容为 C??1?2U0
?1??2d?1?22SU
?1??2d0QU0??1?22S
?1??2d3.12 已知在半径为a的无限长圆柱形体内均匀分布着电荷密度为?0的体电荷。圆柱体内外的介电常数分别为?和?0。若取圆柱体的表面为零电位的参考面，试利用直接积分法求出圆柱体内外的电位和电场强度。 解：取定圆柱坐标系，使z轴与圆柱体的中心轴线相重合，由电位和电场的对称性可知?与?和z无关。圆柱
体内外的电位?1和?2分别满足
?0?01d?d?1?1d?d?2? 和 ???????????d??d????d??d???0它们的通解可以分别表示式为
?1??????02??C1ln??D1 和 ?2?C2ln??D2 4?由轴线上的电位应为有限值可得C1?0。而由圆柱体的表面电位为零可得
?02a?D1?0 和 C2lna?D2?0 4??2即 D1?0a 和 D2??C2lna
4???22于是有 ?1?????0???a? 和 ?2?C2ln
4?a???1代入圆柱体表面电位的法向导数的边界条件??r最后得到圆柱体内外的电位分别为
r?a??2??0?rC2?0a2???0得到，即C2??。2a2?0r?a?0a
?02?0a2?2?1?????a??? 和 ?2??ln
4?2?0a而圆柱体内外的电场强度分别为
?0?d?1?0a2d?2E1????1??e??e? 和 E2????2??e? ?e?d?2?0d?3.13 如题3.13图所示，半径为a的无限长导体圆柱，单位长度的带电量为?l。其
一半埋于介电常数为?的介质中，一半露在空气中。试求各处的电位和电场强度。 解：根据题意，空间中电位分布与?和z无关，均满足一维的拉普拉斯方程，即
?2?1d?d?1?1??d????dr???0?介质中?
?2?1d?2??dr???d?2?d????0?空气中?将上述两方程分别直接积分两次，得出通解为
?1??C1ln??D1 和 ?2??C2ln??D2
根据不同介质分界面电位的连续性可知C1?C2?C和D1?D2?D，即
?1??2???Cln??D
若设无限长导体圆柱上电位为0，也即?(a)?0，可得D??Clna，即
??Cln?a
导体圆柱的面电荷密度为
??介质中S?????????C????????0C??空气中?
单位长度导体圆柱的电量为
?l???Cπa??0Cπa
即
C???lπ(?0??)
于是得到导体圆柱外的电位和电场强度分别为
???lπ(???e??l0??)lna? 和 E???π(?0??)?3.14 如题3.14图所示同轴电容器，其中部分填充了介质?，其余是空气。当外加电压U0时，试求电容器中的电位和电场强度的分布以及单位长度的电容。 解：根据题意，空间中电位分布与?和z无关，均满足一维的拉普拉斯方程，即
?2?1d?d?1??d????1?dr???0?介质中?
?2?1d?2??dr???d?2?d????0?空气中?将上述两方程分别直接积分两次，得出通解为
?1??C1ln??D1 和 ?2??C2ln??D2
2?0?
电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤,曹伟)第3章习题解答
